【題目】已知向量 =(sinA, )與 =(3,sinA+ )共線,其中A是△ABC的內(nèi)角.
(1)求角A的大。
(2)若BC=2,求△ABC面積S的最大值,并判斷S取得最大值時(shí)△ABC的形狀.
【答案】
(1)解:因?yàn)? ∥ ,所以 ;
所以 ,
即 ,
即 .
因?yàn)锳∈(0,π),所以 .
故 ,
(2)解:由余弦定理,得4=b2+c2﹣bc.
又 ,
而b2+c2≥2bcbc+4≥2bcbc≤4,(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立)
所以 ;
當(dāng)△ABC的面積取最大值時(shí),b=c.又 ;
故此時(shí)△ABC為等邊三角形
【解析】(1)根據(jù)向量平行得出角2A的等式,然后根據(jù)兩角和差的正弦公式和A為三角形內(nèi)角這個(gè)條件得到A.(2)根據(jù)余弦定理代入三角形的面積公式,判斷等號(hào)成立的條件.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了基本不等式和向量的共線定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握基本不等式:,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào));變形公式:;設(shè),,其中,則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),向量、共線才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某重點(diǎn)中學(xué)為了解高一年級(jí)學(xué)生身體發(fā)育情況,對(duì)全校700名高一年級(jí)學(xué)生按性別進(jìn)行分層抽樣檢查,測(cè)得身高(單位:cm)頻數(shù)分布表如表1、表2. 表1:男生身高頻數(shù)分布表
身高(cm) | [160,165) | [165,170) | [170,175) | [175,180) | [180,185) | [185,190) |
頻數(shù) | 2 | 5 | 14 | 13 | 4 | 2 |
表2:女生身高頻數(shù)分布表
身高(cm) | [150,155) | [155,160) | [160,165) | [165,170) | [170,175) | [175,180) |
頻數(shù) | 1 | 7 | 12 | 6 | 3 | 1 |
(1)求該校高一女生的人數(shù);
(2)估計(jì)該校學(xué)生身高在[165,180)的概率;
(3)以樣本頻率為概率,現(xiàn)從高一年級(jí)的男生和女生中分別選出1人,設(shè)X表示身高在[165,180)學(xué)生的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)= 是奇函數(shù).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)關(guān)于x的不等式2m﹣1>f(x)有解,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在公差不為零的等差數(shù)列{an}中,已知a2=3,且a1、a3、a7成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 記bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖,若輸入a,b分別為16,20,則輸出的a=( )
A.0
B.2
C.4
D.14
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系下,已知圓O:ρ=cosθ+sinθ和直線l:ρsin(θ﹣ )= .
(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)當(dāng)θ∈(0,π)時(shí),求直線l與圓O公共點(diǎn)的極坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù) ( ).
(1)若 ,求不等式 的解集;
(2)若對(duì)于任意的 , ,都有 恒成立,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線 ,θ∈[0,2π)上一點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)M(a,0),(a>0)的最小距離為 ,則a= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】解不等式( )x﹣x+ >0時(shí),可構(gòu)造函數(shù)f(x)=( )x﹣x,由f(x)在x∈R是減函數(shù),及f(x)>f(1),可得x<1.用類(lèi)似的方法可求得不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3>0的解集為( )
A.(0,1]
B.(﹣1,1)
C.(﹣1,1]
D.(﹣1,0)
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