Question

如圖線段AB過x軸正半軸上一定點M（m，0），端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A，O，B三點作拋物線．
（1）求拋物線方程；
（2）若

OA

•

OB

=-1，求m的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），設(shè)直線AB的方程為y=k（x-m）（k≠0），聯(lián)立這兩個方程組，得ky²-2py-2pkm=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出拋物線方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=+y₁y₂=m²-2m，由此能求出m．

解答： 解：（1）可設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-m）（k≠0）…（2分）
聯(lián)立這兩個方程組消去x得，ky²-2py-2pkm=0，…（4分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知得|y₁|•|y₂|=2m，注意到y(tǒng)₁•y₂＜0，∴y₁•y₂=-2m，
又y₁•y₂=-2pm，∴-2m=-2pm，∵m＞0，∴p=1．
∴拋物線方程為y²=2x；…（6分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂）．
則

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=+y₁y₂=m²-2m．（12分）
又

OA

•

OB

=-1，
∴m²-2m=-1，解得m=1．（14分）

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查實數(shù)m的求法，解題時要認真審題，注意向量的數(shù)量積的合理運用．