Question

在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC₁的中點(diǎn)．F是底面ABCD的中心，
（Ⅰ）求直線EF與平面ABCD所成角；
（Ⅱ）求證：EF∥平面AB₁D．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，利用向量法能求出直線EF與平面ABCD所成角為45°．
（Ⅱ）求出平面AB₁D的法向量

n

=(0，1，-1)，由

EF

•

n

=0，且EF不包含于平面AB₁D，能證明EF∥平面AB₁D．

解答： （Ⅰ）解：以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則F（1，1，0），E（1，2，1），

EF

=（0，-1，-1），
平面ABCD的法向量

n

=（0，0，1），
設(shè)直線EF與平面ABCD所成角為α，
則sinα=|cos＜

EF

，

n

＞|=|

-1

2

|=

2

2

，
∴直線EF與平面ABCD所成角為45°．
（Ⅱ）證明：A（2，0，0），B₁（2，2，2），D（0，0，0），

DA

=（2，0，0），

DB1

=（2，2，2），
設(shè)平面AB₁D的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • DA =2x=0 n • DB1 =2x+2y+2z=0

，取y=1，得z=-1，
∴

n

=(0，1，-1)，
∵

EF

•

n

=0-1+1=0，且EF不包含于平面AB₁D，
∴EF∥平面AB₁D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的求法，考查直線與平面平行的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．