Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= ．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，2]上得單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)m=0，k∈R時，求函數(shù)g（x）=f（x）﹣kx2在R上零點個數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

當(dāng)2﹣m≤0，即m≥2時，x∈[0，2]，f′（x）≥0，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增；

當(dāng)0＜m＜2時，令f′（x）＜0，得0＜x＜2﹣m，令f′（x）＞0，得2﹣m＜x＜2，

所以f（x）在[0，2﹣m]上單調(diào)遞減，在[2﹣m，2]上單調(diào)遞增；

當(dāng)m≤0時，f′（x）≤0，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減

（2）解：由g（x）=f（x）﹣kx2=0 ，

令 ， ，由 或 ，

由 或 ，

∴h（x）在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增

在x＜0時，當(dāng) 時，h（x）取得極小值，且 ，

當(dāng)x→﹣∞時，h（x）→+∞；x→0時，h（x）→+∞．

在x＞0時，當(dāng) 時，h（x）取得極小值 ，

當(dāng)x→0時，h（x）→+∞，x→+∞時，h（x）→0．

綜上結(jié)合圖形得當(dāng) 沒有零點，當(dāng) 有一個零點，

當(dāng) 或 有二個零點，當(dāng) 時有三個零點

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，確定導(dǎo)數(shù)的符號，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）將m=0代入g（x），令g（x）=0，分離出k，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍，從而判斷出零點的個數(shù)．
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．