Question

20．已知直線l：y=x-2與拋物線C：y²=x相交于A，B兩點．
（I）求線段AB的長；
（Ⅱ）若拋物線C上一點P到準線的距離為$\frac{5}{4}$，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （I）聯立直線與拋物線方程，求出A，B兩點坐標，代入兩點之間距離公式，可得答案；
（Ⅱ）若拋物線C上一點P到準線的距離為$\frac{5}{4}$，則點P的橫坐標x滿足x+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，解得答案．

解答 解：（I）聯立直線與拋物線方程得：$\left\{\begin{array}{l}y=x-2\\{y}^{2}=x\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=2\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}\right.$，
故線段AB的長為：$\sqrt{（4-1）^{2}+（2+1）^{2}}$=3$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）若拋物線C上一點P到準線x=-$\frac{1}{4}$的距離為$\frac{5}{4}$，
則P點的橫坐標x滿足x+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，
即x=1，則y=±1，
故P點的坐標為（1，1）或（1，-1）

點評 本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，熟練掌握拋物線的性質，是解題的關鍵．