Question

20．已知直線l：y=x-2與拋物線C：y²=x相交于A，B兩點(diǎn)．
（I）求線段AB的長；
（Ⅱ）若拋物線C上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為$\frac{5}{4}$，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）聯(lián)立直線與拋物線方程，求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)之間距離公式，可得答案；
（Ⅱ）若拋物線C上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為$\frac{5}{4}$，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x滿足x+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，解得答案．

解答 解：（I）聯(lián)立直線與拋物線方程得：$\left\{\begin{array}{l}y=x-2\\{y}^{2}=x\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=2\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}\right.$，
故線段AB的長為：$\sqrt{（4-1）^{2}+（2+1）^{2}}$=3$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）若拋物線C上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-$\frac{1}{4}$的距離為$\frac{5}{4}$，
則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x滿足x+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，
即x=1，則y=±1，
故P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）或（1，-1）

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握拋物線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．