Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a₂+a₆=16，S₉=63．
（1）求{a_n}的通項公式．
（2）當(dāng)n為多少時，S_n取最大值，并求其最大值．
（3）求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

a1+d+a1+5d=16 9a1+ 9×8 2 d=63

，由此能求出{a_n}的通項公式．
（2）由S_n=11n+

n(n-1)

2

×(-1)，利用配方法能求出S_n取最大值時的n的值的最大值．
（3）由a_n=12-n≥0，得n≤12，由此能求出|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，
a₂+a₆=16，S₉=63，
∴

a1+d+a1+5d=16 9a1+ 9×8 2 d=63

，解得a₁=11，d=-1，
∴a_n=11+（n-1）×（-1）=12-n．
（2）∵a₁=11，d=-1，
∴S_n=11n+

n(n-1)

2

×(-1)
=-

1

2

（n²-23n）
=-

1

2

(n-

23

2

)2+

529

8

，
∴n=11或n=12時，S_n取最大值S₁₁=S₁₂=66．
（3）∵由a_n=12-n≥0，得n≤12，a₁=11，d=-1，
∴當(dāng)n≤12時，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|
=11n+

n(n-1)

2

×(-1)
=

n(23-n)

2

．
當(dāng)n≥13時，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|
=-S_n+2S₁₂
=2[12×11+

12×11

2

×(-1)]-[11n+

n(n-1)

2

×(-1)]
=132-

n(23-n)

2

．
∴|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=

n(23-n) 2 ，n≤12 132- n(23-n) 2 ，n≥13

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查S_n取最大值時的n的值和S_n的值的求法，考查數(shù)列的前n項和絕對值的和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運用．