Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ） 求證：

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

lnn

n

＜

1

n

（n≥2，n∈N^*）
（Ⅲ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g(x)=x3+x2[f′(x)+

m

2

](f′(x)是f（x）的導(dǎo)函數(shù)）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，解f′（x）＞0求得函數(shù)的增區(qū)間，解f′（x）＜0 求得函數(shù)的減區(qū)間．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＞f（1），即0＜lnx＜x-1對(duì)一切x＞1成立．根據(jù)n≥2，n∈N^*時(shí)0＜lnn＜n-1，可得0＜

lnn

n

＜

n-1

n

，由此證得不等式成立．
（Ⅲ）先求得a的值，可得f（x）的解析式，再根據(jù)g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，可得

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，由此求得m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，f′（x）=

x-1

x

 （x＞0），解f′（x）＞0得 x∈（1，+∞）；
解f′（x）＜0 得x∈（0，1）．
f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）．
（Ⅱ）證明如下：由（Ⅰ）可知當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴0＜lnx＜x-1對(duì)一切x＞1成立．
∵n≥2，n∈N^*，則有0＜lnn＜n-1，∴0＜

lnn

n

＜

n-1

n

．
∴

ln2

2

•

ln3

3

•

ln4

4

…

lnn

n

＜

1

2

•

2

3

•

3

4

…

n-1

n

=

1

n

 （n≥2，n∈N^*）．
（Ⅲ）∵f′（x）=

a(1-x)

x

 （x＞0），∴f′（2）=-

a

2

=1 得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3，
g（x）=x³+（

m

2

+2）x²-2x，∴g′（x）=3x²+（m+4）x-2．
∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）=-2，∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

．
由題意知：對(duì)于任意的t∈[1 2]，g′（t）＜0恒成立，∴

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，∴-

37

3

＜m＜-9．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．