Question

若曲線（ax+y-3）（x+ay-1）=0與圓x²+（y-2）²=1恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合,直線與圓的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題,分類討論,直線與圓

分析：通過a=0與a≠0，分別討論，曲線與圓的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，通過點(diǎn)到直線的距離與圓的半徑比較，即可得到結(jié)果．

解答： 解：若a=0，則曲線（ax+y-3）（x+ay-1）=0為兩條相交直線，y=3與x=1，直線x=1與圓x²+（y-2）²=1恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；
a≠0時(shí)，曲線（ax+y-3）（x+ay-1）=0，曲線為：ax+y-3=0或x+ay-1=0，
ax+y-3=0與圓x²+（y-2）²=1，必有兩個(gè)公共點(diǎn)，則直線x+ay-1=0與圓x²+（y-2）²=1，沒有公共點(diǎn)，
即

|2-3| a2+1 ＜1 |2a-1| a2+1 ＞1

，解得a＜0或a＞

4

3

；
ax+y-3=0與圓x²+（y-2）²=1，沒有公共點(diǎn)，則直線x+ay-1=0與圓x²+（y-2）²=1，必有兩個(gè)公共點(diǎn)，
可得

|2-3| a2+1 ＞1 |2a-1| a2+1 ＜1

，不等式組無解．
直線ax+y-3=0與直線x+ay-1=0與圓x²+（y-2）²=1，都有一個(gè)公共點(diǎn)，
可得：

|2-3| a2+1 =1 |2a-1| a2+1 =1

，解得a=0．
綜上a的取值范圍是{a|a≤0或a＞

4

3

}．
故答案為：{a|a≤0或a＞

4

3

}

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓與曲線方程的關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用．