Question

已知直線l₁的方程為x-

2

y+1=0，其傾斜角為α．過點(diǎn)P（-

2

，2）的直線l的傾斜角為β，且β=2α．
（1）求直線l的一般式方程；
（2）

cos2β

1+cos2β-sin2β

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,直線的點(diǎn)斜式方程

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由直線斜率與傾斜角的關(guān)系，根據(jù)直線l₁的方程求出tanα的值，再由β=2α，利用二倍角的正切函數(shù)公式求出tanβ的值，確定出直線l斜率，進(jìn)而確定出直線l方程；
（2）原式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡，將tanβ的值代入計(jì)算即可求出值．

解答： 解：（1）由l₁的方程得tanα=

2

2

，
又β=2α，∴tanβ=

2tanα

1-tan2α

=

2× 2 2

1-( 2 2 )2

=2

2

，
∴直線l的斜率k=tanβ=2

2

，
由點(diǎn)斜式得l的方程為：y-2=2

2

（x+

2

），
化為一般方程：2

2

x-y+6=0；
（2）∵tanβ=2

2

，
∴

cos2β

1+cos2β-sin2β

=

cos2β-sin2β

2cos2β-2sinβcosβ

=

(cosβ+sinβ)(cosβ-sinβ)

2cosβ(cosβ-sinβ)

=

cosβ+sinβ

2cosβ

=

1+tanβ

2

=

1+2 2

2

=

1

2

+

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，以及直線的點(diǎn)斜式方程，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．