Question

根據(jù)國(guó)際公法，外國(guó)船只不得進(jìn)入離我國(guó)海岸線(xiàn)12海里以?xún)?nèi)的區(qū)域（此為我國(guó)領(lǐng)海，含分界線(xiàn)）．若外國(guó)船只進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海，我方將向其發(fā)出警告令其退出．如圖，已知直線(xiàn)AB為海岸線(xiàn)，A，B是相距12海里的兩個(gè)觀(guān)測(cè)站，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)一外國(guó)船只航行于點(diǎn)P處，此時(shí)我方測(cè)得∠BAP=α，∠ABP=β（0＜α＜π，0＜β＜π）．
（1）試問(wèn)當(dāng)α=30°，β=120°時(shí)，我方是否應(yīng)向該外國(guó)船只發(fā)出警告？
（2）若tanα=

1

2

，則當(dāng)β在什么范圍內(nèi)時(shí)，我方應(yīng)向該外國(guó)船只發(fā)出警告？

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專(zhuān)題：解三角形

分析：（1）過(guò)P作PH垂直AB于H，先根據(jù)已知求得∠APB，進(jìn)而求得AB，進(jìn)而表示出PH與12進(jìn)行比較．
（2）先由正弦定理求得PB的表達(dá)式，進(jìn)而取得PH的表達(dá)式，令PH≤12，求得β的范圍．

解答： 解：（1）如圖：過(guò)P作PH垂直AB于H，因?yàn)棣?30°，β=120°，

所以∠APB=30°，所以AB=PB=12，
所以PH=ABsin60°=6

3

＜12，
所以應(yīng)向該外國(guó)船只發(fā)出警告．
（2）在△ABP中，由正弦定理得：

AB

sin(π-α-β)

=

PB

sinα

，
所以PB=

12sinα

sin(π-α-β)

，
所以PH=PB•sin(π-β)=

12sinαsinβ

sin(π-α-β)

=

12sinαsinβ

sin(α+β)

，
令PH≤12，得

12sinαsinβ

sin(α+β)

≤12，即sinαsinβ≤sin（α+β），
所以sinαsinβ≤sinαcosβ+cosαsinβ，
又因?yàn)?span id="16q4f1g" class="MathJye">tanα=

1

2

，所以α為銳角，且sinα=

5

5

，cosα=

2 5

5

，
所以

5

5

sinβ≤

5

5

cosβ+

2 5

5

sinβ，即sinβ≥-cosβ，
故sinβ+cosβ≥0，即

2

sin(β+

π

4

)≥0，解得0＜β≤

3π

4

，
所以當(dāng)0＜β≤

3π

4

時(shí)，我方應(yīng)向該外國(guó)船只發(fā)出警告．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用．解題的關(guān)鍵時(shí)把文字描述語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型．