Question

定義一種新運算*，滿足n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*λ為非零常數(shù)）．
（1）對于任意給定的k，設(shè)a_n=n*k（n=1，2，3，…），證明：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）對于任意給定的n，設(shè)b_k=n*k（k=1，2，3…），證明：數(shù)列{b_k}是等比數(shù)列；
（3）設(shè)c_n=n*n（n=1，2，3，..），試求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定,等比關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)定義：n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*λ為非零常數(shù)）表示出a_n，a_n+1，只證a_n+1-a_n為常數(shù)即可；
（2）根據(jù)定義表示出b_k，b_k+1，只需證明

bk+1

bk

是常數(shù)；
（3）根據(jù)定義表示出c_n，分λ=1，λ≠1兩種情況討論，λ=1時易求；λ≠1時，利用錯位相減法可求得S_n；

解答： 解：（1）證明：∵n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*λ為非零常數(shù)），
∴a_n=n*k=nλ^k-1（n=1，2，3，…），
∴a_n+1-a_n=（n+1）λ^k-1-nλ^k-1=λ^k-1．
∵k，λ為非零常數(shù)，∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
（2）證明：∵n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*，λ為非零常數(shù)），
∴b_k=n*k=nλ^k-1（k=1，2，3，…），
∴

bk+1

bk

=

nλk

nλk-1

=λ．
∵λ為非零常數(shù)，
∴數(shù)列{b_k}是等比數(shù)列．
（3）∵n*k=nλ^k-1（n，k∈N^*，λ為非零常數(shù)），
∴n*n=nλ^n-1．
則S_n=c₁+c₂+…+c_n=λ⁰+2λ+3λ²+…+nλ^n-1，
①當λ=1時，Sn=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．
②當λ≠1時，λS_n=λ+2λ²+3λ³+…+nλⁿ．                       
①-②得：（1-λ）S_n=1+λ+λ²+…+λ^n-1-nλⁿ，
∴S_n=

1-λn

(1-λ)2

-

nλn

1-λ

，
綜上可知，S_n=

n(n+1) 2 ，當λ=1時 1-λn (1-λ)2 - nλn 1-λ ，當λ≠1時

．

點評：本題考查數(shù)列的求和、等差等比數(shù)列的定義，屬中檔題，準確理解所給運算的定義是解決本題的關(guān)鍵．