Question

在等腰Rt△ABC中，
（1）在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM的長小于AC的長的概率；
（2）過C點(diǎn)任做射線CP，交斜邊AB于點(diǎn)P，求AP的長小于AC的長的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：計(jì)算題,解三角形,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)等腰Rt△ABC中AC=BC=1，AB=

2

，在AC上點(diǎn)M₀滿足AM₀=1．當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A與點(diǎn)M₀之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足AM的長小于AC的長，由此利用幾何概型公式加以計(jì)算，可得所求的概率；
（2）過C點(diǎn)任做射線CP，交斜邊AB于點(diǎn)P，當(dāng)CP位于∠ACM₀內(nèi)部時(shí)AP的長小于AC的長．因此在等腰△AM₀C中算出∠ACM₀=

1

2

（180°-∠A）=67.5°，再利用幾何概型公式加以計(jì)算，可得答案．

解答： 解：設(shè)等腰Rt△ABC中，AC=BC=1，AB=

2

，在AC上存在一點(diǎn)M₀，滿足AM₀=1
（1）∵在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，
∴當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A與點(diǎn)M₀之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足AM的長小于AC的長
可得AM的長小于AC的長的概率為P₁=

AM0

AB

=

2

2

；
（2）∵△AM₀C中，∠A=45°，AC=AM₀，
∴∠ACM₀=

1

2

（180°-∠A）=67.5°，
過C點(diǎn)任做射線CP，交斜邊AB于點(diǎn)P，當(dāng)CP位于∠ACM₀內(nèi)部時(shí)AP的長小于AC的長，因此AP的長小于AC的長的概率為P₂=

∠ACM0

∠ACB

=

67.5°

90°

=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題在等腰Rt△ABC中求線段長小于AC長的概率．著重考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、幾何概型計(jì)算公式及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．