Question

如圖，有一矩形地塊ABCD，其相鄰邊長(zhǎng)為20m和50m，現(xiàn)要在它的短邊與長(zhǎng)邊上各取一點(diǎn)P與Q，用周長(zhǎng)為80m的籬笆圍出一塊直角三角形的花園，則圍出部分的最大面積為

 

m²．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：分類討論：①周長(zhǎng)為80一定，設(shè)AP=a，AQ=b，則PQ=

a2+b2

．（0＜a≤20，0＜b≤50）．
可得a+b+

a2+b2

=80，利用基本不等式可知：此時(shí)不符合題意．
②當(dāng)AP=a取最大20時(shí)，AQ=b，則斜邊60-b，利用勾股定理可得b²+20²=（60-b）²，解出即可．

解答： 解：①周長(zhǎng)為80一定，設(shè)AP=a，AQ=b，則PQ=

a2+b2

．（0＜a≤20，0＜b≤50）．
∴a+b+

a2+b2

=80，
∴80≥2

ab

+

2ab

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=40(2-

2

)＞20取等號(hào)，
而此時(shí)a＞20，不符合題意，應(yīng)舍去．
②當(dāng)AP=a取最大20時(shí)，AQ=b，則斜邊60-b，
由勾股定理可得b²+20²=（60-b）²，
解得b=

80

3

＜50，滿足條件．
此時(shí)直角△APQ取得最大值：S=

1

2

×20×

80

3

=

800

3

．
綜上可知：圍出部分的最大面積為

800

3

．
故答案為：

800

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分類討論的方法、基本不等式的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．