Question

平面內(nèi)有n（n≥2）條直線(xiàn)，任何兩條都不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，問(wèn)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f（n）為多少？并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專(zhuān)題：綜合題,推理和證明

分析：由于第n+1條直線(xiàn)與前面n條直線(xiàn)都有交點(diǎn)，從而可知n條共面直線(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)與n條共面直線(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系，利用疊加法，即可得出結(jié)論．

解答： 解：對(duì)于n條共面直線(xiàn)，任取其中1條直線(xiàn)，記為l，則除l外的其他n條直線(xiàn)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為f（n），
因?yàn)橐阎�任何兩條直線(xiàn)不平行，所以直線(xiàn)l必與平面內(nèi)其他n條直線(xiàn)都相交（有n個(gè)交點(diǎn)）；
又因?yàn)橐阎�任何三條直線(xiàn)不過(guò)同一點(diǎn)，所以上面的n個(gè)交點(diǎn)兩兩不相同，
且與平面內(nèi)其他的f（n）個(gè)交點(diǎn)也兩兩不相同，從而平面內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是f（n）+n

n(n-1)

2

=f（n+1）．
則f（n+1）-f（n）=n．
所以f（n）=f（2）+2+3+…+（n-1）=

n(n-1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：所謂歸納推理，就是從個(gè)別性知識(shí)推出一般性結(jié)論的推理．它與演繹推理的思維進(jìn)程不同．歸納推理的思維進(jìn)程是從個(gè)別到一般，而演繹推理的思維進(jìn)程不是從個(gè)別到一般，是一個(gè)必然地得出的思維進(jìn)程．