Question

現(xiàn)在人們用QQ建立了很多群，有時(shí)候一個(gè)人管理多個(gè)群很不方便，所以一些人就開(kāi)發(fā)了QQ群機(jī)器人來(lái)管理群，用來(lái)回復(fù)群里面一些好友的問(wèn)題，不過(guò)這個(gè)前提是先設(shè)置好問(wèn)答數(shù)據(jù)庫(kù)，某網(wǎng)友設(shè)置了三類(lèi)問(wèn)答數(shù)據(jù)庫(kù)，并規(guī)定：每回答1個(gè)第一類(lèi)數(shù)據(jù)庫(kù)中的問(wèn)題（共有a個(gè)問(wèn)題）得1分，每回答1個(gè)第二類(lèi)數(shù)據(jù)庫(kù)中的問(wèn)題（共有b個(gè)問(wèn)題）得2分，每回答1個(gè)第三類(lèi)數(shù)據(jù)庫(kù)中的問(wèn)題（共有c個(gè)問(wèn)題）得3分．
（Ⅰ）當(dāng)a=3，b=2，c=1時(shí)，從該數(shù)據(jù)庫(kù)中任意回答（有重復(fù)，且每個(gè)問(wèn)題的機(jī)會(huì)均等）2個(gè)問(wèn)題，記隨機(jī)變量ξ為回答這2個(gè)問(wèn)題所得分?jǐn)?shù)之和，求ξ的分布列．
（Ⅱ）從該數(shù)據(jù)庫(kù)中任意回答（每個(gè)問(wèn)題的機(jī)會(huì)均等）1個(gè)問(wèn)題，記隨機(jī)變量η為回答此問(wèn)題所得分?jǐn)?shù)，若E（η）=

5

3

，D（η）=

5

9

，求a：b：c．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由已知得ξ的可能取值為2，3，4，5，6，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列．
（Ⅱ）由已知得η的可能取值為1，2，3，P（η=1）=

1

a

，P（η=2）=

1

b

，P（η=3）=

1

c

，由E（η）=

5

3

，D（η）=

5

9

，列出三元一次方程組，分別求出a=2，b=3，c=6，能求得到a：b：c=2：3：6．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得ξ的可能取值為2，3，4，5，6，
P（ξ=2）=

3

6

×

3

6

=

1

4

，
P（ξ=3）=

3

6

×

2

6

+

2

6

×

3

6

=

1

3

，
P（ξ=4）=

2

6

×

2

6

+

3

6

×

1

6

+

1

6

×

3

6

5

18

，
P（ξ=5）=

2

6

×

1

6

+

1

6

×

2

6

=

1

9

，
P（ξ=6）=

1

6

×

1

6

=

1

36

，
∴ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5	6
P	1 4	1 3	5 18	1 9	1 36

（Ⅱ）由已知得η的可能取值為1，2，3，
P（η=1）=

1

a

，P（η=2）=

1

b

，P（η=3）=

1

c

，
∵E（η）=

5

3

，D（η）=

5

9

，
∴

1 a + 1 b + 1 c =1 1× 1 a +2× 1 b +3× 1 c = 5 3 (1- 5 3 )2× 1 a +(2- 5 3 )2× 1 b +(3- 5 3 )2× 1 c = 5 9

，
解得a=2，b=3，c=6，
∴a：b：c=2：3：6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、方差的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要注意方差公式的合理運(yùn)用．