Question

數(shù)列{a_n}滿足

1

3

a₁+

1

32

a₂+…+

1

3n

a_n=3n+1，n∈N^*，則a_n=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：數(shù)列{a_n}滿足

1

3

a₁+

1

32

a₂+…+

1

3n

a_n=3n+1，n∈N^*，知n=1時，

1

3

a1=3+1，解得a₁=12．n≥2時，

1

3

a₁+

1

32

a₂+…+

1

3n

a_n+

1

3n+1

an+1=3（n+1）+1，兩式相減得

1

3n+1

an+1=3，由此能求出a_n=

12，n=1 3n+1，n≥2

．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}滿足

1

3

a₁+

1

32

a₂+…+

1

3n

a_n=3n+1，n∈N^*，①
∴n=1時，

1

3

a1=3+1，解得a₁=12．
n≥2時，

1

3

a₁+

1

32

a₂+…+

1

3n

a_n+

1

3n+1

an+1=3（n+1）+1，②
②-①，得

1

3n+1

an+1=3，
∴a_n+1=3ⁿ⁺²，∴an=3n+1．
n=1時，3ⁿ⁺¹=9≠a₁．
∴a_n=

12，n=1 3n+1，n≥2

．
故答案為：

12，n=1 3n+1，n≥2

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意a₁的準(zhǔn)確求解．