Question

記數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若不等式a_n²+

Sn2

n2

≥ma1²對任意等差數(shù)列{a_n}及任意正整數(shù)n都成立，則實數(shù)m的最大值為（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  1

  3

• C、

  1

  4

• D、

  1

  5

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：令

1

2

（n-1）d=t，由a_n²+

Sn2

n2

=（a₁+2t）²+（a₁+t）²=2a₁²+6ta₁+5t²=5（t-

3a1

5

）²+2a₁²-

9a12

5

，當t=

3a1

5

時，取到最小值，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：a_n²+

Sn2

n2

=a_n²+

1

n2

[na₁+

1

2

n（n-1）d]²
=a_n²+[a₁+

1

2

（n-1）d]²，
令

1

2

（n-1）d=t，
a_n²+

Sn2

n2

=（a₁+2t）²+（a₁+t）²
=2a₁²+6ta₁+5t²
=5（t-

3a1

5

）²+2a₁²-

9a12

5

，
當t=

3a1

5

時，取到最小值
即

1

2

（n-1）d=

3a1

5

，即n=

6a1

5d

+1，
∵不等式a_n²+

Sn2

n2

≥ma1²對任意等差數(shù)列{a_n}及任意正整數(shù)n都成立，
∴m≤

1

5

．
∴實數(shù)m的最大值為

1

5

．
故選：D．

點評：本題考查了數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，其中用到換元法求得二次函數(shù)的最值，應(yīng)屬于考查計算能力的中檔題目．