Question

設(shè)i是虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)z₁=2cosα-2isinα，z₂=3cosβ+3isinβ，|z₁-z₂|=

5

．
（Ⅰ）求cos（α+β）的值；
（Ⅱ）若0＜α，β＜

π

2

，且sinβ=

5

5

，求sinα的值．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)求模,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（Ⅰ）首先，根據(jù)已知條件，得到z₁-z₂=（2cosα-3cosβ）-（2sinα+3sinβ）i，然后，結(jié)合復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式，建立等式求解即可；
（Ⅱ）首先，根據(jù)（Ⅰ），求解得到sin（α+β）=

5

3

，然后，根據(jù)sinα=sin[（α+β）-β]，進(jìn)行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵z₁=2cosα-2isinα，z₂=3cosβ+3isinβ，
∴z₁-z₂=（2cosα-3cosβ）-（2sinα+3sinβ）i
∴|z₁-z₂|=

(2cosα-3cosβ)2+(2sinα+3sinβ)2

，
=

13-12cos(α+β)

=

5

，
兩邊平方，得cos（α+β）=

2

3

，
∴cos（α+β）的值

2

3

；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）得cos（α+β）=

2

3

．
又∵0＜α，β＜

π

2

，
∴sin（α+β）=

1-cos(α+β)2

=

5

3

，
又∵sinβ=

5

5

，
∴cosβ=

1-sin2β

=

2 5

5

，
∴sinα=sin[（α+β）-β]
=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ
=

5

3

×

2 5

5

-

2

3

×

5

5

=

10-2 5

15

．
∴sinα的值

10-2 5

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了復(fù)數(shù)的坐標(biāo)運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算、三角恒等變換、三角公式等知識(shí)，屬于中檔題，解題關(guān)鍵是正確運(yùn)用和理解復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式，其次，需要注意角度的靈活拆分，這是高考的熱點(diǎn)也是難點(diǎn)問(wèn)題．