Question

（本題滿(mǎn)分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分，
第3小題滿(mǎn)分8分．
如果數(shù)列同時(shí)滿(mǎn)足：（1）各項(xiàng)均為正數(shù)，（2）存在常數(shù)k, 對(duì)任意都成立，那么，這樣的數(shù)列我們稱(chēng)之為“類(lèi)等比數(shù)列” .由此各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列必定是“類(lèi)等比數(shù)列” .問(wèn)：
（1）若數(shù)列為“類(lèi)等比數(shù)列”，且k＝(a₂－a₁)²，求證：a₁、a₂、a₃成等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列為“類(lèi)等比數(shù)列”，且k＝， a₂、a₄、a₅成等差數(shù)列，求的值；
（3）若數(shù)列為“類(lèi)等比數(shù)列”，且a₁＝a，a₂＝b(a、b為常數(shù))，是否存在常數(shù)λ，使得對(duì)任意都成立？若存在，求出λ；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析，（2）或，（3）

試題分析：（1）解決新定義問(wèn)題，關(guān)鍵根據(jù)“定義”列條件，當(dāng)時(shí)，在中，令得即因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051429897452.png" style="vertical-align:middle;" />所以即故成等差數(shù)列，（2）根據(jù)“定義”，將所求數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)公比為因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051430053508.png" style="vertical-align:middle;" />成等差數(shù)列，所以即因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051430178597.png" style="vertical-align:middle;" />所以 ，,解得或(舍去負(fù)值)．所以或,（3）存在性問(wèn)題，通常從假設(shè)存在出發(fā)，列等量關(guān)系，將是否存在轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程是否有解. 先從必要條件入手，再?gòu)某浞中陨献C明：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051430334704.png" style="vertical-align:middle;" />所以所以即得所以
而
試題解析：[解] (1)當(dāng)時(shí)，在中，令得
即            2分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051429897452.png" style="vertical-align:middle;" />所以即
故成等差數(shù)列                           4分
(2)當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)
所以數(shù)列是等比數(shù)列                        6分
設(shè)公比為因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051430053508.png" style="vertical-align:middle;" />成等差數(shù)列，所以
即因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051430178597.png" style="vertical-align:middle;" />
所以 ，            8分
解得或(舍去負(fù)值)．所以或 10分
(3)存在常數(shù)使（僅給出結(jié)論2分）
（或從必要條件入手）
證明如下：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051430334704.png" style="vertical-align:middle;" />所以
所以即     12分
由于此等式兩邊同除以得    14分
所以
即當(dāng)都有                16分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824051431036890.png" style="vertical-align:middle;" />所以
所以
所以對(duì)任意都有
此時(shí)                          18分