Question

（2013•江蘇）在平面直角坐標系xOy中，設(shè)定點A（a，a），P是函數(shù)y=

1

x

（x＞0）圖象上一動點，若點P，A之間的最短距離為2

2

，則滿足條件的實數(shù)a的所有值為

-1或

10

．

Answer 1

分析：設(shè)點P(x，

1

x

)(x＞0)，利用兩點間的距離公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出a的值．

解答：解：設(shè)點P(x，

1

x

)(x＞0)，則|PA|=

(x-a)2+( 1 x -a)2

=

x2+ 1 x2 -2a(x+ 1 x )+2a2

=

(x+ 1 x )2-2a(x+ 1 x )+2a2-2

，
令t=x+

1

x

，∵x＞0，∴t≥2，
令g（t）=t²-2at+2a²-2=（t-a）²+a²-2，
①當a≥2時，t=a時g（t）取得最小值g（a）=a²-2，∴

a2-2

=2

2

，解得a=

10

；
②當a＜2時，g（t）在區(qū)間[2，+∞）單調(diào)遞增，∴t=2，g（t）取得最小值g（2）=2a²-4a+2，
∴

2a2-4a+2

=2

2

，解得a=-1．
綜上可知：a=-1或

10

．
故答案為-1或

10

．

點評：本題綜合考查了兩點間的距離公式、基本不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識和基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計算能力．