Question

對(duì)于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）是函數(shù)f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．可以證明，任何三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心，請(qǐng)你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題：
①任意三次函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)(-

b

3a

，f(-

b

3a

))對(duì)稱：
②存在三次函數(shù)f′（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱中心；
③存在三次函數(shù)有兩個(gè)及兩個(gè)以上的對(duì)稱中心；
④若函數(shù)g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-

5

12

，則g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)=-1006．
其中正確命題的序號(hào)為

 

（把所有正確命題的序號(hào)都填上）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：新定義

分析：①根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的對(duì)稱中心；
②③利用三次函數(shù)對(duì)稱中心的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷；
④由函數(shù)g（x）的對(duì)稱中心是（

1

2

，-

1

2

），得g（x）+（g（1-x）=-1，由此能求出g（

1

2013

）+…+g（

2012

2013

）的值．

解答： 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，
∵f″（x）=6a×（-

b

3a

）+2b=0，
∴任意三次函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)（-

b

3a

，f（-

b

3a

））對(duì)稱，即①正確；
∵任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心，
∴存在三次函數(shù)f′（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，點(diǎn)（x₀，f（x₀））為y=f（x）的對(duì)稱中心，即②正確；
任何三次函數(shù)都有且只有一個(gè)對(duì)稱中心，故③不正確；
∵g′（x）=x²-x，g^″（x）=2x-1，
令g^″（x）=0，可得x=

1

2

，∴g（

1

2

）=-

1

2

，
∴g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-

5

12

的對(duì)稱中心為（

1

2

，-

1

2

），
∴g（x）+g（1-x）=-1，
∴g（

1

2013

）+g（

2

2013

）+…+g（

2012

2013

）=-1×1006=-1006，故④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查化簡(jiǎn)計(jì)算能力，求函數(shù)的值以及函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于難題．