Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n+n=2a_n（n∈N*）．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}滿足b_n=a_n•log₂（a_n+1）（n∈N*），其前n項(xiàng)和為T_n，試求滿足T_n+

n2+n

2

＞2015的最小正整數(shù)n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n=2a_n-1+1，從而a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2，n∈N^*），由此能證明數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，從而a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）因?yàn)閎_n=a_n•log₂（a_n+1）=（2ⁿ-1）n=n•2ⁿ-n，由此利用錯(cuò)位相減法能求出T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-

n(n+1)

2

．由T_n+

n2+n

2

＞2015，得（n-1）•2ⁿ⁺¹＞2013，由此能求出滿足不等式T_n+

n2+n

2

＞2015的最小正整數(shù)n的值．

解答： （Ⅰ）證明：因?yàn)镾_n+n=2a_n，所以S_n-1=2a_n-1-（n-1）（n≥2，n∈N^*）．
兩式相減，得a_n=2a_n-1+1．
所以a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2，n∈N^*），
所以數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列．
因?yàn)镾_n+n=2a_n，令n=1得a₁=1．a(chǎn)₁+1=2，
所以a_n+1=2ⁿ，所以a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）解：因?yàn)閎_n=a_n•log₂（a_n+1）=（2ⁿ-1）n=n•2ⁿ-n，
所以T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ-（1+2+3+…+n），①
2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹-2（1+2+3+…+n），②
①-②，得-T_n=2+2²+2⁴+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹+（1+2+3+…+n）
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹+

n(n+1)

2

=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹+

n(n+1)

2

，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-

n(n+1)

2

．
∵T_n+

n2+n

2

＞2015，
∴（n-1）•2ⁿ⁺¹＞2013，
n=7時(shí)，（n-1）•2ⁿ⁺¹=6×256=1536，
n=8時(shí)，（n-1）•2ⁿ⁺¹=7×512=3584，
∴滿足不等式T_n+

n2+n

2

＞2015的最小正整數(shù)n的值是7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明和數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查滿足不等式的最小正整數(shù)的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．