Question

已知f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²+bx（a≠0），h（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）若a=3，b=2，求h（x）的極大值點(diǎn)；
（Ⅱ）若b=2且h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）將a、b的值代入，可得h（x）=lnx-

3

2

x²-2x，求出其導(dǎo)數(shù)，再在區(qū)間（0，+∞）上討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可以得出函數(shù)h（x）單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到h（x）的極大值點(diǎn)；
（Ⅱ）先求函數(shù)h（x）的解析式，因?yàn)楹瘮?shù)h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以不等式h′（x）＜0有解，通過討論a的正負(fù)，得出h′（x）＜0有解，即可得出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=3，b=2，∴h（x）=f（x）-g（x）=lnx-

3

2

x²-2x，
∴h′(x)=

1

x

-3x-2=-

3x2+2x-1

x

（x＞0），
令h′（x）=0，則3x²+2x-1=0，x₁=-1，x₂=

1

3

，
則當(dāng)0＜x＜

1

3

時(shí)，h′（x）＞0，則h（x）在（0，

1

3

）上為增函數(shù)，
當(dāng)x＞

1

3

時(shí)，h′（x）＜0，則h（x）在（

1

3

，+∞）上為減函數(shù)，
則h（x）的極大值點(diǎn)為

1

3

；
（Ⅱ）∵b=2，∴h(x)=lnx-

1

2

 ax2-2x，
∴h′(x)=

1

x

-ax-2=-

ax2+2x-1

x

，
∵函數(shù)h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，
∴h′（x）＜0有解．
即當(dāng)x＞0時(shí)，則ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解．
①當(dāng)a＞0時(shí)，y=ax²+2x-1為開口向上的拋物線，y=ax²+2x-1＞0在（0，+∞）總有解．
②當(dāng)a＜0時(shí)，y=ax²+2x-1為開口向下的拋物線，而y=ax²+2x-1＞0在（0，+∞）總有解，
則△=4+4a＞0，且方程y=ax²+2x-1=0至少有一個(gè)正根，此時(shí)，-1＜a＜0
綜上所述，a的取值范圍為（-1，0）∪（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)與方程的討論等，屬于中檔題．