Question

4．已知函數(shù)f（x）=4cos（$\frac{πx}{2}$+$\frac{π}{3}$），如果對于任意x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，則|x₁-x₂|的最小值是2．

Answer 1

分析 先確定|x₁-x₂|的最小值為相鄰最小值與最大值處橫坐標(biāo)差的絕對值，由此可得結(jié)論．

解答 解：由題意，f（x）=4cos（$\frac{πx}{2}$+$\frac{π}{3}$），
對任意的x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，所以f（x₁）是最小值，f（x₂）是最大值，
|x₂-x₁|的最小值為相鄰最小值與最大值處橫坐標(biāo)差的絕對值．
由于當(dāng)$\frac{πx}{2}$+$\frac{π}{3}$=0，即x=-$\frac{2}{3}$時，函數(shù)取得最大值4，
當(dāng)$\frac{πx}{2}$+$\frac{π}{3}$=π，即x=$\frac{4}{3}$時，函數(shù)取得最小值-4，
∴|x₁-x₂|的最小值為：|$\frac{4}{3}-（-\frac{2}{3}）$|=2．
故答案為：2．

點評 本題考查絕對值函數(shù)，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，確定|x₁-x₂|的最小值為相鄰最小值與最大值處橫坐標(biāo)差的絕對值是關(guān)鍵，屬于中檔題．