【題目】已知橢圓的右焦點為且過點橢圓C與軸的交點為A、B(點A位于點B的上方)，直線與橢圓C交于不同的兩點M、N(點M位于點N的上方).

(1)求橢圓C的方程；

(2)求△OMN面積的最大值；

(3)求證:直線AN和直線BM交點的縱坐標為常值.

【答案】（1）（2）（3），證明見解析

【解析】

（1）由題可知，橢圓過點所以將點代入可得，再結(jié)合橢圓的關系式即可求解

（2）聯(lián)立橢圓和直線的方程，表示出韋達定理，再表示出弦長公式，用點到直線距離公式表示出點到直線距離，進一步化簡求值即可

（3）結(jié)合（2）中的韋達定理，表示出直線與直線方程，再聯(lián)立求解即可

（1）由題可知，又橢圓過點所以將點代入橢圓的標準方程可得，結(jié)合橢圓的關系式，可得，所以橢圓的標準方程為

（2）設，聯(lián)立方程組，

化簡得，由△，

解得，由韋達定理，得，，

，點到直線距離，則

,令，，則

可代換為

當時，取到最大值，

（3）借用（2）中的韋達定理，直線的方程①

直線的方程②，聯(lián)立①②，

得

即直線與直線的交點在定直線上．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，點在以為直徑的圓上，垂直與圓所在平面，為的垂心.

（1）求證：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2018年，教育部發(fā)文確定新高考改革正式啟動，湖南、廣東、湖北等8省市開始實行新高考制度，從2018年下學期的高一年級學生開始實行.為了適應新高考改革，某校組織了一次新高考質(zhì)量測評，在成績統(tǒng)計分析中，高二某班的數(shù)學成績的莖葉圖和頻率分布直方圖因故都受到不同程度的損壞，但可見部分如下，據(jù)此解答如下問題：

（1）求該班數(shù)學成績在的頻率及全班人數(shù)；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計該班這次測評的數(shù)學平均分；

（3）若規(guī)定分及其以上為優(yōu)秀，現(xiàn)從該班分數(shù)在分及其以上的試卷中任取份分析學生得分情況，求在抽取的份試卷中至少有份優(yōu)秀的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；

（2）設直線與曲線交于兩點，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，且時有極大值.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若為的導函數(shù)，不等式（為正整數(shù)）對任意正實數(shù)恒成立，求的最大值.（注：）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】根據(jù)統(tǒng)計，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量（百千克）與某種液體肥料每畝使用量（千克）之間的對應數(shù)據(jù)的散點圖，如圖所示.

（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，請計算相關系數(shù)并加以說明（若，則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合）；

（2）求關于的回歸方程，并預測液體肥料每畝使用量為12千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少？

附：相關系數(shù)公式，參考數(shù)據(jù)：，.

回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在上有最大值和最小值，設（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求的值；

（2）若不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義在上的奇函數(shù)有最小正周期4，且時，

（1）判斷并證明在上的單調(diào)性，并求在上的解析式；

（2）當為何值時，關于的方程在上有實數(shù)解？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線過點(為非零常數(shù))與軸不垂直的直線與C交于兩點.

(1)求證:(是坐標原點)；

(2)AB的垂直平分線與軸交于，求實數(shù)的取值范圍；

(3)設A關于軸的對稱點為D,求證:直線BD過定點,并求出定點的坐標.

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