Question

已知m為常數(shù)，函數(shù)f(x)=

m-2x

1+m•2x

為奇函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）若m＞0，試判斷f（x）的單調(diào)性（不需證明）；
（3）若m＞0，存在x∈[-2，2]，使f（x²-2x-k）+f（2）≤0，求實(shí)數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)，建立方程f（-x）=-f（x），然后求m．
（2）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（3）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而求實(shí)數(shù)k的最大值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

m-2x

1+m•2x

為奇函數(shù)．
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，得

m-2-x

1+m•2-x

+

m-2x

1+m•2x

=0，
∴整理得（m²-1）（2^x+2^-x）=0恒成立，
即m²=1，∴m=±1．
（2）∵m＞0，∴m=1，
此時(shí)函數(shù)f（x）=

1-2x

1+2x

在R上單調(diào)遞減．
（3）∵f（x²-2x-k）+f（2）≤0，
∴f（x²-2x-k）≤-f（2）=f（-2），
∵函數(shù)f（x）=

1-2x

1+2x

在R上單調(diào)遞減．
∴x²-2x-k≥-2，
即k≤x²-2x+2．
而g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∵x∈[-2，2]，
∴當(dāng)x=-2時(shí)，g（x）有最大值g（-2）=10．
∴k≤10，從而k_max=10．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，考查學(xué)生分析命題，解決問(wèn)題的能力．綜合性較強(qiáng)．