Question

已知m為常數(shù)，函數(shù)f(x)=

m-2x

1+m•2x

為奇函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）若m＞0，試判斷f（x）的單調(diào)性（不需證明）；
（3）若m＞0，存在x∈[-2，2]，使f（e^x+xe^x-k）+f（2）≤0，求實數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f(x)=

m-2x

1+m•2x

為奇函數(shù)，f（-x）+f（x）=0，可構(gòu)造關(guān)于m的方程，解方程可得m的值；
（2）由m＞0，求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)性的性質(zhì)，判斷出f（x）的單調(diào)性
（3）由m＞0，求出函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可將原不等式轉(zhuǎn)化為e^x+xe^x-k≥-2，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x+xe^x+2，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，進(jìn)而求出實數(shù)k的最大值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

m-2x

1+m•2x

為奇函數(shù)．
∴f（-x）+f（x）=0，
∴

m-2-x

1+m•2-x

+

m-2x

1+m•2x

=0，
∴（m²-1）（2^x+2^-x）=0，即m²=1，
∴m=±1…（4分）
（2）∵m＞0
∴m=1
∴f(x)=

1-2x

1+2x

=

2

1+2x

-1
由y=1+2^x為增函數(shù)，故y=

2

1+2x

為減函數(shù)
故f(x)=

1-2x

1+2x

在R上單調(diào)遞減…（7分）
（3）∵m＞0
∴m=1
∴f(x)=

1-2x

1+2x

由f（e^x+xe^x-k）≤-f（2）=f（-2），得e^x+xe^x-k≥-2，…（9分）
即k≤e^x+xe^x+2．
而g（x）=e^x+xe^x+2在[-2，2]上單調(diào)遞增，
所以在x=2時，g（x）的最大值為3e²+2．
∴k≤3e²+2，
從而kmax=3e2+2…（12分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．