Question

在圓x²+y²=8上任取一點P，過點P作x軸的垂線PD，D為垂足，M為垂線段PD上的點，且滿足|MD|=

2

2

|DP|．
（1）求點M的軌跡E方程；
（2）若直線l與（1）中軌跡E相交于不同兩點A，且滿足

OA

⊥

OB

（O為坐標(biāo)原點為），
①求線段AB長度的取值范圍．
②若T是以坐標(biāo)原點為圓心，且與直線l相切的圓，求T的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)M（x，y），P（x₁，y₁），由|MD|=

2

2

|DP|，得

x1=x y1= 2 y

，由此利用已知條件能求出點M的軌跡E的方程．
（2）①（i）假設(shè)直線l的斜率存在，其方程為y=kx+m，聯(lián)立

y=kx+m x2+2y2=8

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0．由此利用根的判別式和韋達(dá)定理結(jié)合已知條件推導(dǎo)出

4 6

3

≤|AB|≤2

3

．若直線l的斜率不存在，則|AB|=

4 6

3

，由此能求出線段AB長度的取值范圍．
②當(dāng)直線l的斜率存在時，該圓的圓心到直線l的距離為d=

|m|

k2+1

，從而求出該圓的半徑r=

2 6

3

，當(dāng)直線l的斜率不存在時，該圓的半徑r=

2 6

3

，由此能求出的方程．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），P（x₁，y₁），
由|MD|=

2

2

|DP|，得

x1=x y1= 2 y

，
又∵P（x₁，y₁）在圓x²+y²=8上，
∴x12+y1 2=8，∴x2+(

2

y)2=8，
∴點M的軌跡E的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）①（i）假設(shè)直線l的斜率存在，其方程為y=kx+m，
聯(lián)立

y=kx+m x2+2y2=8

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0．
∴

△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)＞0 x1+x2=- 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-8 1+2k2

，（*）
∵

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
化簡，得(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
將（*）式代入，化簡得3m²=8k²+8，
又∵|AB|=

1+k2

•

△

|a|

，
∴|AB|=

1+k2

•

64k2-8m2+32

1+2k2

，
將m2=

8

3

(k2+1)代入，得：
|AB|=

1+k2

•

2×64k2 3 + 32 3

1+2k2

=

32 3

•

(1+k2)(4k2+1) (1+2k2)2

，
∴|AB|=

32 3

•

1+ k2 1+4k4+4k2

=

32 3

•

1+ 1 1 k2 +4k2+4

≤2

3

，
∴當(dāng)且僅當(dāng)k2=

1

2

，即k=±

2

2

時等號成立，
又由

k2

1+4k4+4k2

≥0，∴|AB|≥

32 3

=

4 6

3

，
∴

4 6

3

≤|AB|≤2

3

．
（ii）若直線l的斜率不存在，則|AB|=

4 6

3

，
綜上線段AB長度的取值范圍是[

4 6

3

，2

3

]．
②當(dāng)直線l的斜率存在時，該圓的圓心到直線l的距離為d=

|m|

k2+1

，
又∵m2=

8

3

(k2+1)，∴d=

8 3 k2+1

k2+1

=

2 6

3

，
∴該圓的半徑r=

2 6

3

，
當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=±

2 6

3

，
該圓的半徑r=

2 6

3

，
綜上，所求的圓的方程為x2+y2=

8

3

．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查圓的方程的求法，考查推理論證能力，考查推導(dǎo)運算能力，考查等價轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想的合理運用．