Question

已知圓C₁的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且恰好與直線l₁：x-2y+3

5

=0相切，點(diǎn)A為圓上一動點(diǎn)，AM⊥x軸于點(diǎn)M，且動點(diǎn)N滿

ON

=

3

3

OA

+（1-

3

3

）

OM

，設(shè)動點(diǎn)N的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（Ⅱ）直線l與直線l₁垂直且與曲線C交于B、D兩點(diǎn)，求△OBD面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)動點(diǎn)N（x，y），A（x₀，y₀），由已知條件推導(dǎo)出M（x₀，0），圓C₁的程為x²+y²=9，A(x，

3

y)
，由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l：2x+y+m=0，設(shè)直線l與橢圓

x2

9

+

y2

3

=1交于B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），聯(lián)立方程

y=-2x-m x2+3y2=9

，得13x²+12mx+3m²-9=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線的距離公式能求出△OBD面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)動點(diǎn)N（x，y），A（x₀，y₀），
因為AM⊥x軸于M，所以M（x₀，0），
設(shè)圓C₁的方程為x²+y²=r²，由題意得r=

|3 5 |

1+4

=3，
所以圓C₁的程為x²+y²=9．…（2分）
由題意，

ON

=

3

3

OA

+(1-

3

3

)

OM

，
所以(x，y)=

3

3

(x0，y0)+(1-

3

3

)(x0，0)，
所以

x=x0 y= 3 3 y0

即

x0=x y0= 3 y.

將A(x，

3

y)
代入x²+y²=9，得動點(diǎn)N的軌跡方程

x2

9

+

y2

3

=1，
所以曲線C的方程

x2

9

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）由題意可設(shè)直線l：2x+y+m=0，
設(shè)直線l與橢圓

x2

9

+

y2

3

=1交于B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
聯(lián)立方程

y=-2x-m x2+3y2=9

，得13x²+12mx+3m²-9=0，
△=144m²-13×4（3m²-9）＞0，解得m²＜39，
x1，2=

-12m± 468-12m2

26

=

-6m± 117-3m2

13

，…（7分）
又因為點(diǎn)O到直線l的距離d=

|m|

5

，
BD=

5

•|x1-x2|=

5

•

2 117-3m2

13

，S△OBD=

1

2

•

|m|

5

•

5

•

2 117-3m2

13

=

m2(117-3m2)

13

=

3m2(39-m2)

13

≤

3 3

2

．
（當(dāng)且僅當(dāng)m²=39-m²即 m2=

39

2

時取到最大值），
∴△OBD面積的最大值為

3 3

2

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查曲線方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．