已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過(guò)如下五個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)：P1(-1，-
2
2
)，P2（0，1），P3(
1
2
，
2
2
)，P4(1，
2
2
)，P5（1，1）．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A為橢圓M的左頂點(diǎn)，B，C為橢圓M上不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，若原點(diǎn)在△ABC的外部，且△ABC為直角三角形，求△ABC面積的最大值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）確定橢圓M經(jīng)過(guò)P1(-1，-
2
2
)，P2（0，1），P4(1，
2
2
)，代入方程，即可求橢圓M的方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用△ABC為直角三角形，可得直線方程，利用原點(diǎn)在△ABC的外部，即可求△ABC面積的最大值．
解答： 解：（Ⅰ）由
(
1
2
)2
a2
+
(
2
2
)2
b2
＜
(-1)2
a2
+
(-
2
2
)2
b2
=
12
a2
+
(
2
2
)2
b2
＜
12
a2
+
12
b2
，知P3(
1
2
，
2
2
)和P5（1，1）不在橢圓M上，即橢圓M經(jīng)過(guò)P1(-1，-
2
2
)，P2（0，1），P4(1，
2
2
)．
于是a2=2，b2=1．
所以 橢圓M的方程為：
x2
2
+y2=1．…（2分）
（Ⅱ）①當(dāng)∠A=90°時(shí)，設(shè)直線BC：x=ty+m，
由
x2+2y2=2
x=ty+m
得（t2+2）y2+2tmy+（m2-2）=0．
設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），則△=16-8m2+8t2＞0，
y1+y2=-
2tm
t2+2
y1y2=
m2-2
t2+2

所以kABkAC=
y1
x1+
2
•
y2
x2+
2
=
y1y2
(ty1+m+
2
)(ty2+m+
2
)

=
y1y2
t2y1y2+t(m+
2
)(y1+y2)+(m+
2
)2
=
m-
2
2(m+
2
)
=-1．
于是m=-
2
3
，此時(shí)△=16-
16
9
+8t2＞0，
所以直線BC：x=ty-
2
3
．
因?yàn)?span id="aqiz9ll" class="MathJye">y1y2=-
16
9
t2+2
＜0，故線段BC與x軸相交于M(-
2
3
，0)，
即原點(diǎn)在線段AM的延長(zhǎng)線上，即原點(diǎn)在△ABC的外部，符合題設(shè)．…（6分）
所以 S△ABC=
1
2
|AM|•|y1-y2|=
2
3
|y1-y2|=
2
9
[(y1+y2)2-4y1y2]
=
2
9
[(
2
3
2
t
t2+2
)2-4(-
16
9
t2+2
)]

=
16
81
×
9t2+16
(t2+2)2
=
16
81
(4-
4t4+7t2
t4+4t2+4
)
≤
8
9
．
當(dāng)t=0時(shí)取到最大值
8
9
．…（9分）
②當(dāng)∠A≠90°時(shí)，不妨設(shè)∠B=90°．
設(shè)直線AB：x=ty-
2
(t≠0)，由
x2+2y2=2
x=ty-
2
得(t2+2)y2-2
2
ty=0．
所以 y=0或y=
2
2
t
t2+2
．
所以B(
2
t2-2
2
t2+2
，
2
2
t
t2+2
)，由AB⊥BC，可得直線BC：y=-tx+
2
t3
t2+2
．
由
x2+2y2=2
y=-tx+
2
t3
t2+2
得(t2+2)(2t2+1)y2-2
2
t3y-
8t2(t2+1)
t2+2
=0．
所以 yByC=-
8t2(t2+1)
(t2+2)2(2t2+1)
＜0．
所以線段BC與x軸相交于N(
2
t2
t2+2
，0)．
顯然原點(diǎn)在線段AN上，即原點(diǎn)在△ABC的內(nèi)部，不符合題設(shè)．
綜上所述，所求的△ABC面積的最大值為
8
9
．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有難度．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下面幾個(gè)命題中，假命題是（　�。�
A、“若a≤b，則2a≤2b-1”的否命題
B、“?a∈（0，+∞），函數(shù)y=ax在定義域內(nèi)單調(diào)遞增”的否定
C、“π是函數(shù)y=sinx的一個(gè)周期”或“2π是函數(shù)y=sin2x的一個(gè)周期”
D、“x2+y2=0”是“xy=0”的必要條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求函數(shù)f（x）=
x+3
-1
x+2
的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)過(guò)點(diǎn)(
3
，
2
2
)，它的離心率為
6
2
，P、Q分別在雙曲線的兩條漸近線上，M是線段PQ中點(diǎn)，|PQ|=2
2
．
（Ⅰ）求雙曲線及其漸近線方程；
（Ⅱ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅲ）過(guò)C左焦點(diǎn)F1的直線l與C相交于點(diǎn)A、B，F(xiàn)2為C的右焦點(diǎn)，求△ABF2面積最大時(shí)
F2A
•
F2B
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-x+a+1
（1）若f（x）≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）若f（x）在區(qū)間[a，a+1]是單調(diào)函數(shù)，求a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品每噸所需的煤、電和產(chǎn)值如下表所示
用煤（噸） 用電（千瓦） 產(chǎn)值（萬(wàn)元）
甲產(chǎn)品 5 10 4
乙產(chǎn)品 6 20 6
但該廠每天可用的煤、電有限，每天供煤至多50噸，供電至多140千瓦，該廠最大日產(chǎn)值為
 
萬(wàn)元．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列命題中所有真命題的序號(hào)是
 
．
①“a＞b”是“a2＞b2”的充分條件；
②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要條件；
③“a＞b”是“a+c＞b+c”的充要條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
log4x ，x＞0
3x ，   x≤0
，則f[f（
1
4
）]=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

以下命題：
①|
a
|+|
b
|=|
a
+
b
|是
a
，
b
共線的充要條件；
②空間任意一點(diǎn)O與不共線三點(diǎn)A，B，C滿足
OP
=2
OA
+3
OB
-4
OC
，則P，A，B，C四點(diǎn)共面；
③若兩平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直．
其中正確的命題是（　　）
A、②B、①②C、②③D、①②③

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