已知雙曲線(xiàn)
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)過(guò)點(diǎn)(
3
，
2
2
)，它的離心率為
6
2
，P、Q分別在雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)上，M是線(xiàn)段PQ中點(diǎn)，|PQ|=2
2
．
（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)及其漸近線(xiàn)方程；
（Ⅱ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅲ）過(guò)C左焦點(diǎn)F1的直線(xiàn)l與C相交于點(diǎn)A、B，F(xiàn)2為C的右焦點(diǎn)，求△ABF2面積最大時(shí)
F2A
•
F2B
的值．
考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出
3
a2
-
1
2b2
=1，且
a2+b2
a2
=(
6
2
)2，由此能求出雙曲線(xiàn)方程和它的漸近線(xiàn)方程．
（Ⅱ）設(shè)P(x1，
x1
2
)，Q(x2，-
x2
2
)，M（x，y），由已知條件推導(dǎo)出(x1-x2)2+(
x1
2
+
x2
2
)2=8，由此能求出軌跡C的方程．
（Ⅲ） F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)，設(shè)l的方程為x=ky-
3
，設(shè)A（x3，y3），B（x4，y4）．把x=ky-
3
代入
x2
4
+y2=1，得 (k2+4)y2-2
3
ky-1=0，由此利用韋達(dá)定理、三角形面積公式、均值定理等知識(shí)點(diǎn)能求出△ABF2面積最大時(shí)
F2A
•
F2B
的值．
解答： 解：（Ⅰ）∵雙曲線(xiàn)
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)過(guò)點(diǎn)(
3
，
2
2
)，它的離心率為
6
2
，
∴
3
a2
-
1
2b2
=1，且
a2+b2
a2
=(
6
2
)2，
解得 a2=2，b2=1，
∴雙曲線(xiàn)方程是
x2
2
-y2=1，
它的漸近線(xiàn)方程是y=
1
2
x，y=-
1
2
x．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，不妨設(shè)P(x1，
x1
2
)，Q(x2，-
x2
2
)，
設(shè)M（x，y），則有x1+x2=2x，
x1
2
-
x2
2
=2y．
∵|PQ|=2
2
，∴(x1-x2)2+(
x1
2
+
x2
2
)2=8，
∴(2
2
y)2+(
2x
2
)2=8，
化簡(jiǎn)得軌跡C的方程為 
x2
4
+y2=1．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)，
根據(jù)題意直線(xiàn)l與x軸不能重合，
∴設(shè)l的方程為x=ky-
3
，設(shè)A（x3，y3），B（x4，y4）．
把x=ky-
3
代入
x2
4
+y2=1，
化簡(jiǎn)并整理得 (k2+4)y2-2
3
ky-1=0，
∴y3+y4=
2
3
k
k2+4
，y3y4=-
1
k2+4
，
∴|y3-y4|=
(y3+y4)2-4y3y4
=
(
2
3
k
k2+4
)2+
4
k2+4

=4
1
(k2+1)+
9
k2+1
+6
，
∴△ABF2面積S=
1
2
|F1F2|•|y3-y4|=4
3
•
1
(k2+1)+
9
k2+1
+6

≤4
3
•
1
2
(k2+1)•
9
k2+1
+6
=2，
當(dāng)且僅當(dāng)k2+1=
9
k2+1
時(shí)，即等號(hào)成立．
∴當(dāng)k=
2
時(shí)，y3+y4=
6
3
，y3y4=-
1
6
，
∴x3+x4=k(y3+y4)-2
3
=-
4
3
3
，x3x4=(ky3-
3
)(ky4-
3
)=k2y3y4-
3
k(y3+y4)+3=
2
3
，
∴
F2A
•
F2B
=(x3-
3
，y3)•(x4-
3
，y4)=x3x 4-
3
(x3+x4)+3+y3y4=
15
2
．
同理，當(dāng)k=-
2
時(shí)，
F2A
•
F2B
=
15
2
．
綜上所述，
F2A
•
F2B
=
15
2
．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)方程及其漸近線(xiàn)方程的求法，考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查三角形面積最大時(shí)數(shù)量積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、均值定理的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列三個(gè)命題：
①在區(qū)間[0，1]內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，則事件“x2+y2＞1成立”的概率是1-
π
4
；
②函數(shù)f（x）關(guān)于（3，0）點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，滿(mǎn)足f（6+x）=f（6-x），且當(dāng)x∈[0，3]時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，則f（x）在[6，9]上為減函數(shù)；
③滿(mǎn)足A=30°，BC=1，AB=
3
的△ABC有兩解．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�
A、1B、2C、3D、0

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為
2
2
，P是橢圓上一點(diǎn)，且△PF1F2面積的最大值等于2．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M（0，2）作直線(xiàn)l與直線(xiàn)MF2垂直，試判斷直線(xiàn)l與橢圓的位置關(guān)系．
（Ⅲ）直線(xiàn)y=2上是否存在點(diǎn)Q，使得從該點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線(xiàn)相互垂直？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A，B是拋物線(xiàn)W：y=x2上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），直線(xiàn)AB的斜率為k，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）若拋物線(xiàn)W的焦點(diǎn)在直線(xiàn)AB的下方，求k的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)C為W上一點(diǎn)，且AB⊥AC，過(guò)B，C兩點(diǎn)分別作W的切線(xiàn)，記兩切線(xiàn)的交點(diǎn)為D，求|OD|的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

分別過(guò)橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）左、右焦點(diǎn)F1、F2的動(dòng)直線(xiàn)l1、l2相交于P點(diǎn)，與橢圓E分別交于A(yíng)、B與C、D不同四點(diǎn)，直線(xiàn)OA、OB、OC、OD的斜率分別為k1、k2、k3、k4，且滿(mǎn)足k1+k2=k3+k4，已知當(dāng)l1與x軸重合時(shí)，|AB|=2
3
，|CD|=
4
3
3
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在定點(diǎn)M，N，使得|PM|+|PN|為定值？若存在，求出M、N點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)為B（-2，0），C（2，0），直線(xiàn)AB，AC的斜率乘積為-
1
4
，設(shè)頂點(diǎn)A的軌跡為曲線(xiàn)E．
（1）求曲線(xiàn)E的方程；
（2）設(shè)曲線(xiàn)E與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)D作兩條互相垂直的直線(xiàn)l1，l2，這兩條直線(xiàn)與曲線(xiàn)E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N．設(shè)l1的斜率為k（k≠0），△DMN的面積為S，試求
S
|k|
的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過(guò)如下五個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)：P1(-1，-
2
2
)，P2（0，1），P3(
1
2
，
2
2
)，P4(1，
2
2
)，P5（1，1）．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A為橢圓M的左頂點(diǎn)，B，C為橢圓M上不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，若原點(diǎn)在△ABC的外部，且△ABC為直角三角形，求△ABC面積的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列命題中：①函數(shù)f(x)=sinx+
2
sinx
(x∈(0，π))的最小值是2
2
；
②在△ABC中，若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰或直角三角形；
③如果正實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a+b＞c，則
a
1+a
+
b
1+b
＞
c
1+c
；
④如果y=f（x）是可導(dǎo)函數(shù)，則f′（x0）=0是函數(shù)y=f（x）在x=x0處取到極值的必要不充分條件．
其中正確的命題是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y=-
4-(x-1)2
圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q（2a，a-3）（a∈R），則|PQ|的最小值為（　�。�
A、
8
5
5
-2
B、
5
C、
5
-2
D、
7
5
5
-2

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案