【題目】已知函數 .
(I)若 在 處的切線方程為 ,求 的值;
(II)若 在 上為增函數,求 得取值范圍.
【答案】解:(I)因為 ,又 在 處的切線方程為 ,
所以 所以
(II)因為 在 上為增函數,
所以 在 上恒成立.
即 在 上恒成立,所以有 .
【解析】(1)根據切線的斜率為1,得到f'(2)=1,解之得a=2;從而得到f(x)=x2-2lnx,算出切點坐標為(2,2-2ln2),再代入直線y=x+b,即可求出實數b的值.
(2)根據題意,f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,由此得到關于x的不等式a≤x2在(1,+∞)上恒成立,再討論x2的取值范圍,即可得到a的取值范圍.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識,掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞減.
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【題目】“過大年,吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習俗.2018年春節(jié)前夕, 市某質檢部門隨機抽取了100包某種品牌的速凍水餃,檢測其某項質量指標,
(1)求所抽取的100包速凍水餃該項質量指標值的樣本平均數 (同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)①由直方圖可以認為,速凍水餃的該項質量指標值 服從正態(tài)分布 ,利用該正態(tài)分布,求 落在 內的概率;
②將頻率視為概率,若某人從某超市購買了4包這種品牌的速凍水餃,記這4包速凍水餃中這種質量指標值位于 內的包數為 ,求 的分布列和數學期望.
附:①計算得所抽查的這100包速凍水餃的質量指標的標準差為 ;
②若 ,則 , .
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【題目】已知函數f(x)=ex-e-x(x∈R,且e為自然對數的底數).
(1)判斷函數f(x)的單調性與奇偶性;
(2)是否存在實數t , 使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x∈R都成立?若存在,求出t;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知坐標平面上動點 與兩個定點 , ,且 .
(1)求點 的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形;
(2)記(1)中軌跡為 ,過點 的直線 被 所截得的線段長度為8,求直線 的方程.
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【題目】如圖,在等腰直角△ABO中,設 = , = ,| |=| |=1,C為AB上靠近A點的三等分點,過C作AB的垂線l,設P為垂線上任一點, = ,則 ( ﹣ )=( )
A.
B.﹣
C.﹣
D.
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【題目】已知向量 , ,設 .
(Ⅰ)若f(α)=2,求 的值;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足(2a﹣b)cosC=ccosB,求f(A)的取值范圍.
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【題目】某人到甲、乙兩市各 個小區(qū)調查空置房情況,調查得到的小區(qū)空置房的套數繪成了如圖的莖葉圖,則調查中甲市空置房套數的中位數與乙市空置房套數的中位數之差為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖,在四棱錐 中,底面 為直角梯形, ,且 , 平面 .
(1)求 與平面 所成角的正弦值;
(2)棱 上是否存在一點 滿足 ?若存在,求 的長;若不存在,說明理由.
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