Question

【題目】若函數(shù) ， .
（Ⅰ）求 的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）證明：若 存在零點(diǎn)，則 在區(qū)間 上僅有一個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ， 得
.
由 解得 . 與 在區(qū)間 上的情況如下：

所以， 的單調(diào)遞減區(qū)間是 ，單調(diào)遞增區(qū)間是 ；
在 處取得極小值 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 在區(qū)間 上的最小值為 .
因?yàn)? 存在零點(diǎn)，所以 ，從而 .
當(dāng) 時(shí)， 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，且 ，
所以 是 在區(qū)間 上的唯一零點(diǎn).
當(dāng) 時(shí)， 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，且 ， ，
所以 在區(qū)間 上僅有一個(gè)零點(diǎn).
綜上可知，若 存在零點(diǎn)，則 在區(qū)間 上僅有一個(gè)零點(diǎn)
【解析】（1）根據(jù)題目中所給的條件的特點(diǎn)，利用原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'（x）與0的大小關(guān)系,求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并能求出極值；
（2）利用極值求出最值，再利用最值討論存在零點(diǎn)的情況．導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：
（i）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；
（II）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案．