Question

如圖，已知體積為8，高為4的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，CC₁⊥平面A₁B₁C₁，點D、E分別在棱AA₁和CC₁上，且DE⊥B₁C₁，DA₁=3，EC₁=2．
（Ⅰ）求證C₁A₁⊥C₁B₁；
（Ⅱ）求平面BDE與平面ABC所成銳二面角的最小值；
（Ⅲ）若用此三棱柱作為無蓋（上底面ABC）盛水容器，盛水時發(fā)現(xiàn)在D、E兩處有泄露，試問此容器最多能盛水多少？

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（I）由線面垂直得AA₁⊥B₁C₁，又DE⊥B₁C₁，由此能證明C₁A₁⊥C₁B₁．
（II）分別以

C1A1

，

C1B1

，

C1C

的方向為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，由此能求出平面BDE與平面ABC所成銳二面角的最小值．
（III）由VABC-A1B1C1-V_B-ADEC，能求出此容器最多的盛水量．

解答： （I）證明：∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥B₁C₁，
又DE⊥B₁C₁，且DE∩AA₁=D，
∴B₁C₁⊥平面AA₁C₁C，∴C₁A₁⊥C₁B₁．…（5分）
（II）解：分別以

C1A1

，

C1B1

，

C1C

的方向為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標系，…（6分）
設C₁A₁=a，C₁B₁=b，
則A₁（a，0，0），B₁（0，b，0），A（a，0，4），
B（0，b，4），C（0，0，4），D（a，0，3），E（0，0，2），
又VABC-A1B1C1=S_△ABC•AA₁
=

1

2

×AC×BC×4=8，得：ab=4，
設

n

=(x，y，z)是平面BDE的一個法向量，

EB

=(0，b，2)，

ED

=(a，0，1)，
由

n ⊥ EB n ⊥ ED

，得

by+2z=0 ax+z=0

，取

n

=(b，-2a，ab)． …（7分）
又

C1C

=(0，0，4)是平面ABC的一個法向量，
cos＜

C1C

，

n

＞=

ab

b2+4a2+(ab)2

=

4

b2+4a2+16

，
∵b²+4a²≥4ab=16，
當且僅當a=2b時等號成立，∴cos?

C1C

，

n

＞的最大值為

2

2

，
所以平面BDE與平面ABC所成銳二面角的最小值45⁰．…（9分）
（III）VB-ADEC=

1

3

SADEC•BC=

1

3

•

1

2

(AD+CE)•AC•BC=2
此容器最多能盛水：VABC-A1B1C1-V_B-ADEC=6（平方單位）．…（13分）

點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．