Question

4．某民航站共有1到4四個入口，每個入口處每次只能進一個人，一小組4個人進站的方案數(shù)為840．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，按照4個人選擇入站口的數(shù)目分4種情況討論：①、4個人選擇同一個入口處入站，②、4個人選擇2個不同的入口處入站，③、4個人選擇3個不同的入口處入站，④、4個人選擇4個不同的入口處入站；每種情況下分析入站口選擇的情況數(shù)目、分組的情況數(shù)目以及每組人與人之間的順序，由分步計數(shù)原理可得每種情況下進站的方案數(shù)目，進而由分類計數(shù)原理將4種情況下的進站的方案數(shù)相加即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，分4種情況討論：
①、4個人選擇同一個入口處入站，共有4個入口處，即有4種選擇，
考慮4個人之間的順序，有A₄⁴=24種情況，
則此時有4×24=96種進站的方案；
②、4個人選擇2個不同的入口處入站，在4個入口處選2個，有C₄²=6種選法，
將4個人分成2組，
如果每組2人，有$\frac{1}{2}$C₄²=3種分組方法，將這兩組對應(yīng)2個入口，有A₂²=2種情況，考慮每組2人的順序，有A₂²A₂²=4種不同的順序，
則每組2人有6×3×2×4=144種進站的方案，
如果一組1人，另一組3人，有C₄³C₁¹=4種分組方法，將這兩組對應(yīng)2個入口，有A₂²=2種情況，考慮3人組3人之間的順序，有A₃³=6種不同的順序，
則每組2人有6×4×2×6=288種進站的方案，
則選擇2個入口處入站，有144+288=432種進站的方案；
③、4個人選擇3個不同的入口處入站，在4個入口處選3個，有C₄³=4種選法，
將4個人分成2組，必然一組2人，剩余2組每組1人，有C₄²=6種分組方法，
將這兩組對應(yīng)3個入口，有A₃³=6種情況，考慮2人組2人之間的順序，有A₂²=2種不同的順序，
則此時有4×6×6×2=288種進站的方案；
④、4個人選擇4個不同的入口處入站，
將4人全排列，對應(yīng)4個入口處即可，
此時有A₄⁴=24種不同的進站的方案，
則一共有96+432+288+24=840種不同的進站的方案；
故答案為：840．

點評 本題考查排列、組合的運用，解題的關(guān)鍵是正確的分類討論，務(wù)必做到不重不漏．