Question

6．設函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos²ωx+sinωxcosωx+a（其中ω＞0，a∈R），且f（x）的圖象在y柱右側(cè)的第一個最高點的橫坐標為$\frac{π}{6}$．
（1）求ω的值；
（2）如果f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個實數(shù)解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，由2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$即可解得ω的值．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，可得x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，由g（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$與函數(shù)y=-a的圖象有兩個交點，即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a…．（2分）
=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a…4 分
依題意得2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$解得ω=$\frac{1}{2}$…．（6分）
（2）由（1）知f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a
又當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，設x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]…（8分）
f（x）=0在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個實數(shù)解，即函數(shù)g（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$與函數(shù)y=-a的圖象有兩個交點．…（11分）
由函數(shù)g（x）的圖象得a的取值范圍是（-1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\sqrt{3}$]…（14分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．