Question

3．如圖，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，
AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分別為AB，CB的中點，M為底面△OBF的重心．
（Ⅰ）求證：平面ADF⊥平面CBF；
（Ⅱ）求證：PM∥平面AFC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，CB⊥AB，所以可推斷出CB⊥平面ABEF，又AF?平面BDC₁，所以CB⊥AF，進而由余弦定理求得BF，推斷出AF²+BF²=AB²得AF⊥BF同時利用AF∩CB=B判斷出AF⊥平面CFB，即可證明平面ADF⊥平面CBF；
（Ⅱ）連結(jié)OM延長交BF于H，則H為BF的中點，又P為CB的中點，推斷出PH∥CF，又利用線面判定定理推斷出PH∥平面AFC，連結(jié)PO，同理推斷出PO∥平面AFC，利用面面平行的判定定理，推斷出平面POO₁∥平面AFC，最后利用面面平行的性質(zhì)推斷出PM∥平面AFC

解答 證明：（Ⅰ）∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，CB⊥AB
∴CB⊥平面ABEF，
又AF?平面BDC₁，∴CB⊥AF
又AB=2，AF=1，∠BAF=60°，
由余弦定理知BF=$\sqrt{3}$，AF²+BF²=AB²得AF⊥BF
∵AF∩CB=B，∴AF⊥平面CFB
∵AF?平面AFC，
∴平面ADF⊥平面CBF；
（Ⅱ）連結(jié)OM延長交BF于H，則H為BF的中點，又P為CB的中點，
∴PH∥CF，又∵AF?平面AFC，
∴PH∥平面AFC
連結(jié)PO，則PO∥AC，AC?平面AFC，PO∥平面AFC
PO∩PO₁=P，
∴平面POO₁∥平面AFC，
PM?平面AFC，
∴PM∥平面AFC．

點評 本題主要考查了面面垂直的判定，線面平行的判定，面面平行的判定，以及線面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．