已知橢圓E的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，離心率e=
2
3
，一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，
5
），以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心的圓C與直線3x-4y+4=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)Q（0，-3）的直線m與圓C交于不同的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）且為x1x2+y1y2=3時(shí)，求△AOB的面積．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）首先根據(jù)橢圓的離心率e=
2
3
，一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，
5
），求出橢圓的方程，進(jìn)而求出橢圓的右焦點(diǎn)，即圓心的坐標(biāo)；然后根據(jù)圓心到直線3x-4y+4=0的距離等于圓的半徑，求出圓的半徑，進(jìn)而求出圓C的方程即可；
（2）首先設(shè)出過(guò)點(diǎn)Q（0，-3）的直線m的方程，與圓的方程聯(lián)立，求出直線l的方程、求得圓心C到l的距離d、以及|AB|的值，即可求△AOB的面積．
解答： 解：（1）因?yàn)闄E圓的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，
5
），
所以b2=5，
由離心率e=
2
3
，
可得
c
a
=
2
3
，a2-c2=5，
解得a2=9，c2=4，
所以橢圓的方程為：
x2
9
+
y2
5
=1，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）；
設(shè)圓C的方程為：（x-2）2+y2=r2，
因?yàn)閳AC與直線3x-4y+4=0相切，
所以
|3×2-4×0+4|
32+42
=r，
解得r2=4，
因此圓C的方程為：（x-2）2+y2=4；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)Q（0，-3）的直線m的方程為：y=kx-3，
把y=kx-3代入圓C的方程，可得（k2+1）x2-2（3k+2）x+9=0，
因?yàn)橹本�m與圓C交于不同的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），
所以x1+x2=
2(3k+2)
k2+1
，x1x2=
9
k2+1
，y1y2=k2x1x2-3k（x1+x2）+9，
又因?yàn)閤1x2+y1y2=3，
所以
9
k2+1
（k2+1）-3k•
2(3k+2)
k2+1
+9=3，
整理，可得k2+4k-5=0，
解得k=1或k=-5（舍去）；
①k=1時(shí)，直線m的方程為x-y-3=0，
圓心到直線m的距離是：
|2-0-3|
1+1
=
2
2
，
在△ABC中，因?yàn)閨AB|=2×
22-
1
2
=
14
，
原點(diǎn)O到直線l的距離，即△AOB底邊AB邊上的高h(yuǎn)=
3
2
=
3
2
2
，
因此△AOB的面積=
1
2
|AAB|•h=
1
2
•
14
•
3
2
2
=
3
7
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、以及圓的方程的求法的運(yùn)用，考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比q是正整數(shù)，前n項(xiàng)和為Tn，若a1=d，b1=d2，且
a12+a22+a32
b1+b2+b3
是正整數(shù)，則
S92
T8 
等于（　�。�
A、
45
17
B、
135
17
C、
90
17
D、
270
17

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A（-3，0）、B（0，2），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC=45°，設(shè)
OC
=λ
OA
+（1-λ）
OB
，（λ∈R）則λ的值為（　�。�
A、
1
5
B、
1
3
C、
2
5
D、
2
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=3sin（ωx-
π
6
），（ω＞0）和g（x）=2cos（2x+θ）+1的圖象的對(duì)稱軸完全相同，當(dāng)x∈[0，
π
2
]時(shí)，求出f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=x3-ax2+1，是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）在區(qū)間[0，
3
3
]上為減函數(shù)，且在區(qū)間（
3
3
，1]上是增函數(shù)？并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，拋物線y2=4
3
x的焦點(diǎn)F恰好是該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．
（1）求橢圓方程；
（2）過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A作兩條弦AM、AN分別交橢圓于M、N兩點(diǎn)，滿足
AM
•
AN
=0，當(dāng)點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MN是否經(jīng)過(guò)x軸上的一定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)給出證明，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

閱讀材料，解答問(wèn)題．
例：用圖象法解一元二次不等式x2-2x-3＞0．
解：設(shè)y=x2-2x-3，則y是x的二次函數(shù)．∵a=1＞0，∴拋物線開(kāi)口向上．
又當(dāng)y=0時(shí)，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3．
由此得拋物線y=x2-2x-3的大致圖象如圖所示：
觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)x＜-1或x＞3時(shí)，y＞0．
∴x2-2x-3＞0的解集是：x＜-1或x＞3．
（1）觀察圖象，直接寫(xiě)出一元二次不等式：x2-2x-3＜0的解集是
 
；
（2）仿照上例，用圖象法解一元二次不等式：x2-ax-2a2＞0
（3）仿照上例，用圖象法解一元二次不等式：ax2-（a+2）x+2＞0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（λ，1），
b
=（λ+2，1），若|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，則實(shí)數(shù)λ=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，已知點(diǎn)（an+1，an）（n∈N*）在函數(shù)y=2x的圖象上，且a2•a4=
1
64
．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且bn=nan，求Sn．

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同步練習(xí)冊(cè)答案