Question

【題目】已知a∈R，函數(shù)f（x）=ex+ax2 ， g（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，
（1）當(dāng)a＞0時，求證：存在唯一的x0∈（﹣ ，0），使得g（x0）=0；
（2）若存在實數(shù)a，b，使得f（x）≥b恒成立，求a﹣b的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵g（x）=f′（x）=ex+2ax，g′（x）=ex+2a，

當(dāng)a＞0時，g′（x）＞0，∴函數(shù)g（x）在（﹣∞，+∞）上的單調(diào)遞增，

又g（﹣ ）= ﹣1＜0，g（0）=1＞0，

∴存在唯一的x0∈（﹣ ，0），使得g（x0）=0；

（2）解：①當(dāng)a＜0時，則當(dāng)x＜0時，g（x）＞0，

即函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，且當(dāng)x→﹣∞時，f（x）→﹣∞，這與f（x）≥b矛盾；

②當(dāng)a=0，由ex≥b，得b≤0，∴a﹣b≥0；

③當(dāng)a＞0，由（Ⅰ）知當(dāng)x∈（﹣∞，x0）時，g（x）＜0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時，g（x）＞0；

即f（x）在（﹣∞，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，

∴f（x）的最小值為f（x0），

其中x0滿足 +2ax0=0，故a=﹣ 且x0＜0，

∵f（x）≥b恒成立，∴b≤f（x0），

即﹣b≥﹣ ﹣ax02，于是a﹣b≥﹣ ﹣ax02=﹣ （1+ ﹣ ），

記h（x）=﹣ex（1+ ﹣ ），x＜0，

則h′（x）= ex（x﹣1）2（x+1），

由h′（x）＜0得x＜﹣1，即函數(shù)h（x）在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)時遞減，

由h′（x）＞0得﹣1＜x＜0，即函數(shù)h（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞增，

∴h（x）min=h（﹣1）=﹣ ，

綜上得a﹣b的最小值為﹣ ，此時x0=﹣1．

【解析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)零點的判定定理進行判斷即可．（2）利用不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值進行求解．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．