【題目】如圖,焦點(diǎn)在x軸的橢圓,離心率e= ,且過點(diǎn)A(﹣2,1),由橢圓上異于點(diǎn)A的P點(diǎn)發(fā)出的光線射到A點(diǎn)處被直線y=1反射后交橢圓于Q點(diǎn)(Q點(diǎn)與P點(diǎn)不重合).
(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求證:直線PQ的斜率為定值;
(3)求△OPQ的面積的最大值.

【答案】
(1)解:設(shè)橢圓方程為

∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)(﹣2,1),

,

,

,

∴橢圓方程為


(2)證明:設(shè)直線AP方程為y=k(x+2)+1,則直線AQ的方程為y=﹣k(x+2)+1

可得(1+2k2)x2+4k(2k+1)x+8k2+8k﹣4=0,△>0,

設(shè)P(x1,y1),由A(﹣2,1)可得

∴P( , ),

同理可得Q( , ),

∴kPQ=﹣1


(3)解:由(2),設(shè)PQ的方程為y=﹣x+m,代入橢圓方程得:3x2﹣4mx+2m2﹣6=0.

令△>0,得﹣3<m<3,

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則 ,

設(shè)原點(diǎn)O到直線的距離為d,則 ,

當(dāng) 時(shí),△OPQ面積的最大值為


【解析】(1)設(shè)橢圓方程,利用離心率e= ,且過點(diǎn)A(﹣2,1),求出幾何量,即可得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線AP方程、直線AQ的方程,與橢圓方程聯(lián)立,求出P,Q的坐標(biāo),即可得出結(jié)論;(3)設(shè)PQ的方程為y=﹣x+m,代入橢圓方程,利用弦長公式求出|PQ|,再求出原點(diǎn)O到直線的距離,可得△OPQ的面積,利用基本不等式,即可求其最大值.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】拋物線y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于A點(diǎn),焦點(diǎn)是F,P是位于x軸上方的拋物線上的任意一點(diǎn),令m= ,當(dāng)m取得最小值時(shí),PA的斜率是(
A.1
B.2
C.3
D.4

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【題目】已知函數(shù),給出下列結(jié)論:

(1)若對任意,且,都有,則為R上的減函數(shù);

(2)若為R上的偶函數(shù),且在內(nèi)是減函數(shù), (-2)=0,則>0解集為(-2,2);

(3)若為R上的奇函數(shù),則也是R上的奇函數(shù);

(4)t為常數(shù),若對任意的,都有關(guān)于對稱。

其中所有正確的結(jié)論序號為_________

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(1)求f(0),f(2);

(2)求函數(shù)f(x)的解析式;

(3)若f(a-1)<3,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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【題目】在矩形ABCD中,AB=4 ,AD=2 ,將△ABD沿BD折起,使得點(diǎn)A折起至A′,設(shè)二面角A′﹣BD﹣C的大小為θ.

(1)當(dāng)θ=90°時(shí),求A′C的長;
(2)當(dāng)cosθ= 時(shí),求BC與平面A′BD所成角的正弦值.

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【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的k值為(

A.5
B.6
C.7
D.8

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【題目】已知, 是拋物線上兩點(diǎn),且兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為3.

(1)求直線的斜率;

(2)若直線,直線與拋物線相切于點(diǎn),且,求方程.

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【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=ex+ax2 , g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),
(1)當(dāng)a>0時(shí),求證:存在唯一的x0∈(﹣ ,0),使得g(x0)=0;
(2)若存在實(shí)數(shù)a,b,使得f(x)≥b恒成立,求a﹣b的最小值.

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(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí),能租出多少輛車?

(2)設(shè)租金為(3200+50x)元/輛(xN),用x表示租賃公司的月收益y(單位:元)。

(3)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí),租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少?

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