Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且

2b+c

a

=-

cosC

cosA

．
（1）求角A的值；
（2）若

AB

•

AC

=-2，求|

BC

|的最小值；
（3）若b=

2

m

，c=2m，O是△ABC的外心，且

AO

=x

AB

+y

AC

，求x+y的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：解三角形

分析：（1）已知等式左邊利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)已知等式，將cosA的值代入求出bc的值，再利用余弦定理列出關(guān)系式，并利用基本不等式變形，將bc的值代入即可求出所求式子的最小值；
（3）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)

AB

•

AC

，將b，c，cosA的值代入求出值，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則有OD⊥AB，即

DO

•

AB

=0，利用平面向量數(shù)量積運(yùn)算法則表示出

AO

•

AB

，以及

AO

•

AC

，根據(jù)題意表示出x與y，利用基本不等式即可求出x+y的最小值．

解答： 解：（1）由正弦定理得：

2b+c

a

=

2sinB+sinC

sinA

，
代入已知等式得：

2sinB+sinC

sinA

=-

cosC

cosA

，
即2sinBcosA=-（sinAcosC+sinCcosA）=-sin（A+C）=-sinB，
∵sinB≠0，∴cosA=-

1

2

，
∵A為三角形內(nèi)角，
∴A=

2π

3

；
（2）由

AB

•

AC

=-2，得到bccosA=-2，
將cosA=-

1

2

代入得：bc=4，
由余弦定理得：|

BC

|²=a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc，
∵b²+c²≥2bc，
∴|

BC

|²≥3bc=12，即|

BC

|≥2

3

，
則當(dāng)b=c時(shí)，|

BC

|的最小值為2

3

；
（3）∵

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|•cosA=2m•

2

m

•（-

1

2

）=-2，
設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則有OD⊥AB，即

DO

•

AB

=0，
∴

AO

•

AB

=（

AD

+

DO

）•

AB

=

AD

•

AB

+

DO

•

AB

=

AD

•

AB

=

1

2

AB

²=2m²，
同理可得

AO

•

AC

=

1

2

AC

²=

2

m2

，
∴

AO • AB =x AB 2+y AB • AC AO • AC =x AB • AC +y AC 2

，即

4m2x-2y=2m2 -2x+ 4y m2 = 2 m2

，
解得：

x= 2m2+1 3m2 y= m2+2 3

，
∴x+y=

2m2+1

3m2

+

m2+2

3

=

4

3

+

1

3

（m²+

1

m2

）≥

4

3

+

2

3

=2，
當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)，m²+

1

m2

的最小值為2，
則x+y的最小值為2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．