Question

如圖，設(shè)四棱錐S-ACDE的底面為菱形，且∠ABC=60°，AB=SC=2，SA=SB=

2

．
（Ⅰ）求證：平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)P為SD的中點(diǎn)，求三棱錐P-SAC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接AC，取AB的中點(diǎn)E，連接SE、EC，證明SE⊥面ABCD，即可證明平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）利用轉(zhuǎn)換底面的方法，即可求三棱錐P-SAC的體積．

解答： （Ⅰ）證明：連接AC，取AB的中點(diǎn)E，連接SE、EC，
∵SA=SB=

2

，∴SE⊥AB，AB=2，∴SE=1，
又四棱錐S-ACDE的底面為菱形，且∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，AB=2，
∴CE=

3

，
又SC=2，∴SC²=CE²+SE²，
∴SE⊥EC，∴SE⊥面ABCD，
∵SE?平面SAB，
∴平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：V_P-SAC=V_S-PAC=V_S-DAC-V_P-DAC=

1

2

VS-DAC=

1

2

•

1

3

•

3

4

•22•1=

3

6

．

點(diǎn)評：本題在四棱錐中證明面面垂直，并求三棱錐的體積．著重考查了平面與平面垂直的判定定理和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．