Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)為和S_n，點(diǎn)（n，

Sn

n

）在直線y=

1

2

x+

11

2

上．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0
（n∈N^*），且b₃=11，前9項(xiàng)和為153．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求使不等式T_n＞

k

57

對(duì)一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值；
（3）設(shè)n∈N^*，f（n）=

an，n為奇數(shù) bn，n為偶數(shù)

，問(wèn)是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）點(diǎn)（n，

Sn

n

）在直線y=

1

2

x+

11

2

上，可得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，利用公式a_n=S_n-S_n-1，求出a_n的通項(xiàng)公式；又因?yàn)閎_n+2-2b_n+1+b_n=0，所以數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求出b_n的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可知c_n的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法，求出前n項(xiàng)和T_n，根據(jù)不等式T_n＞

k

57

求出k的值；
（3）先假設(shè)存在滿足條件的k存在，求出f（n）解析式，然后按m為偶數(shù)、m為奇數(shù)兩種情況進(jìn)行討論表示出f（m+15）=5f（m）解出即可；

解答： 解：（1）∵點(diǎn)（n，

Sn

n

）在直線y=

1

2

x+

11

2

上，
∴

Sn

n

=

1

2

n+

11

2

，即S_n=

1

2

n²+

11

2

n，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n+5；當(dāng)n=11時(shí)，a₁=S₁=6；滿足上式；
∴a_n=n+5．--------------------------------------------（3分）
∵b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n=…=b₂-b₁．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
∵b₃=11，它的前9項(xiàng)和為153，設(shè)公差為d，
則b₁+2d=11，9b₁+

9×8

2

×d=153，解得b₁=5，d=3．∴b_n=3n+2．---------（5分）
（2）由（1）得，c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+

1

2

（

1

5

-

1

7

）+…+

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）．------------------------------------------------------（8分）
∵T_n=

1

2

（1-

1

2n+1

）在n∈N^*上是單調(diào)遞增的，∴T_n的最小值為T(mén)₁=

1

3

．
∵不等式T_n＞

k

57

對(duì)一切n∈N^*都成立，∴

k

57

＜

1

3

，
∴k＜19．∴最大正整數(shù)k的值為18．------------------（10分）
（3）n∈N^*，f（n）=

an，n為奇數(shù) bn，n為偶數(shù)

=

n+5，n為奇數(shù) 3n+2，n為偶數(shù)

------------------11 w   分
當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，m+15為偶數(shù)，
則有3（m+15）+2=5（m+5）解得m=11------（13分）
當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，m+15為奇數(shù)．
若f（m+15）=5f（m）成立，m+15+5=5（3m+2）此時(shí)，不成立----------（15分）
∴當(dāng)m=11時(shí)，f（m+15）=5f（m）．-------（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，涉及求數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列的求和以及恒成立問(wèn)題，考查分類討論思想，考查學(xué)生的探究能力解決問(wèn)題的能力，屬中檔題．