Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

，AB=1，M是PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC與PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的大�。�

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）證明面PAD⊥面PCD，只需證明面PCD內(nèi)的直線CD，垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線AD、PD即可；
（Ⅱ）過點(diǎn)B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC與PB所成的角，解直角三角形PEB求AC與PB所成的角；
（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足為N，連接BN，說明∠ANB為所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC與面BMC所成二面角的大小．
法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系，
（Ⅰ）求出

AP

，

DC

，計(jì)算

AP

•

DC

=0，推出AP⊥DC．，然后證明CD垂直平面PAD，即可證明面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求出

AC

，

PB

，計(jì)算cos＜

AC

，

PB

＞=

AC • PB

| AC |•| PB |

．即可求得結(jié)果．
（Ⅲ）在MC上取一點(diǎn)N（x，y，z），則存在使

NC

=λ

MC

，說明∠ANB為所求二面角的平面角．求出

AN

，

BN

，計(jì)算
cos(

AN

，

BN

)=

AN • BN

| AN |•| BN |

即可取得結(jié)果．

解答：法一：（Ⅰ）證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂線定理得：CD⊥PD．
因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直，
∴CD⊥面PAD．
又CD?面PCD，
∴面PAD⊥面PCD．

（Ⅱ）解：過點(diǎn)B作BE∥CA，且BE=CA，
則∠PBE是AC與PB所成的角．
連接AE，可知AC=CB=BE=AE=

2

，又AB=2，
所以四邊形ACBE為正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°
在Rt△PEB中BE=a²=3b²，PB=

5

，
∴cos∠PBE=

BE

PB

=

10

5

．
∴AC與PB所成的角為arccos

10

5

．

（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足為N，連接BN．
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，
∴△AMC≌△BMC，
∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角
∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．
在等腰三角形AMC中，AN•MC=

CM2-( AC 2 )2•AC

，
∴AN=

3 2 × 2

5 2

=

6

5

．
∴AB=2，
∴cos∠ANB=

AN2+BN2-AB2

2×AN×BN

=-

2

3

故所求的二面角為arccos(-

2

3

)．

法二：因?yàn)镻A⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為
A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），
D（1，0，0），P（0，0，1），M(0，1，

1

2

)
（Ⅰ）證明：因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

AP

=(0，0，1)，

DC

=(0，1，0)，
故

AP

•

DC

=0，所以AP⊥DC．
又由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC⊥面PAD．
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD

（Ⅱ）解：因

AC

=(1，1，0)，

PB

=(0，2，-1)，
故|

AC

|=

2

，|

PB

|=

5

，

AC

•

PB

=2，
所以cos＜

AC

，

PB

＞=

AC • PB

| AC |•| PB |

=

10

5

.
由此得AC與PB所成的角為arccos

10

5

．
（Ⅲ）解：在MC上取一點(diǎn)N（x，y，z），
則存在使

NC

=λ

MC

，

NC

=(1-x，1-y，-z)，

MC

=(1，0，-

1

2

)，
∴x=1-λ，y=1，z=

1

2

λ．
要使AN⊥MC，只需

AN

•

MC

=0即x-

1

2

z=0，
解得λ=

4

5

．可知當(dāng)λ=

4

5

時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為(

1

5

，1，

2

5

)，能使

AN

•

MC

=0．
此時(shí)，

AN

=(

1

5

，1，

2

5

)，

BN

=(

1

5

，-1，

2

5

)，
有

BN

•

MC

=0由

AN

•

MC

=0，

BN

•

MC

=0得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB為所求二面角的平面角．
∵|

AN

|=

30

5

，|

BN

|=

30

5

，

AN

•

BN

=-

4

5

，
∴cos(

AN

，

BN

)=

AN • BN

| AN |•| BN |

=-

2

3

．
故所求的二面角為arccos(-

2

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直，二面角的求法，異面直線所成的角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．