Question

【題目】已知F1 ， F2為橢圓E的左右焦點，點P（1， ）為其上一點，且有|PF1|+|PF2|=4
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過F1的直線l1與橢圓E交于A，B兩點，過F2與l1平行的直線l2與橢圓E交于C，D兩點，求四邊形ABCD的面積SABCD的最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）設橢圓E的標準方程為 ，

由已知|PF1|+|PF2|=4，得2a=4，∴a=2，

又點P（1， ）在橢圓上，∴ ，∴b= ，

橢圓E的標準方程為 =1．

（II）由題意可知，四邊形ABCD為平行四邊形，

∴SABCD=4S△OAB，

設直線AB的方程為x=my﹣1，且A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，

∴y1+y2= ，y1y2=﹣ ，

S△OAB= + = |OF1||y1﹣y2|=

= =6

令m2+1=t，則t≥1，S△OAB=6 =6

又∵g（t）=9t+ 在[1，+∞）上單調遞增

∴g（t）≥g（1）=10，∴S△OAB的最大值為 ．

∴SABCD的最大值為6

【解析】（I）設橢圓E的標準方程為 ，由已知|PF1|+|PF2|=4， ，由此能求出橢圓E的標準方程．（II）由題意可知，四邊形ABCD為平行四邊形，S△ABCD=4S△OAB，設直線AB的方程為x=my﹣1，且A（x1，y1），B（x2，y2），由 ，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，由此利用弦長公式能求出S△BCD的最大值．