Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，，，E為AB的中點(diǎn)將沿直線DE折起到的位置，使平面平面BCDE．

（1）證明：平面PDE．

（2）設(shè)F為線段PC的中點(diǎn)，求四面體D-PEF的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）在四邊形ABCD中，根據(jù)已知角的大小和邊的大小關(guān)系，可得DE⊥CE，又平面平面BCDE，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得CE⊥平面PDE；
（2）根據(jù)棱錐體積公式可知，取PE的中點(diǎn)G，可得，進(jìn)而平面PDE，故FG是三棱錐F-PDE，以F為頂點(diǎn)時(shí)的高，分別求出和FG即可求出四面體D-PEF的體積．

（1）因?yàn)?/span>，E為AB的中點(diǎn)，則．

又，則為正三角形，所以．

因?yàn)?/span>，，則．

從而，即．

因?yàn)槠矫?/span>平面BCDE，平面平面．

平面BCDE，所以平面PDE．

（2）取PE中點(diǎn)G，連結(jié)FG．由于E為AB的中點(diǎn)，，則，

而，則，則．

因?yàn)?/span>F為C的中點(diǎn)，則，所以平面PDE ．

在中，，，則

，即，所以，

則．