Question

6．某商店經(jīng)營一批進價為每件4元的商品，在市場調(diào)查時發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價x與日銷售量y之間有如下關系：

x	5	6	7	8
y	10	8	7	3

（1）求相關系數(shù)．并以此判斷銷售單價與日銷售量之間具有怎樣的線性相關關系？
（2）求x，y之間的線性回歸方程；
（3）估計銷售單價為多少元時，日利潤最大？
（參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}-4\overline x\overline y}$=-11，$\sum_{i=1}^4{x_i^2-4{{（\overline x）}^2}}$=5，$\sum_{i=1}^4{y_i^2-4{{（\overline y）}^2}}$=26）
用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$，r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{y}_{i}^{2}-n（\overline{y}）^{2}}}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相關系數(shù)公式，求出相關系數(shù)，結(jié)合相關系數(shù)的意義，可得結(jié)論；
（2）根據(jù)已知中的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法，可得x，y之間的線性回歸方程；
（3）根據(jù)（2）中回歸方程，求出日銷售量，進而求出日利潤，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）相關系數(shù)$r=\frac{\sum _{i=14}^{4}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum _{i=1}^{4}{x}_{i}^{2}-n{（\overline{x}）}^{2}}\sqrt{\sum _{i=1}^{4}{y}_{i}^{2}-n{（\overline{y}）}^{2}}}$=$\frac{-11}{\sqrt{5×26}}$≈-0.9648．
這說明銷售單價x與日銷售量y是高度負相關的．
（2）由表格數(shù)據(jù)知$\overline{x}$=6.5，$\overline{y}$=7，
又∵$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}-4\overline x\overline y}$=-11，$\sum_{i=1}^4{x_i^2-4{{（\overline x）}^2}}$=5，
∴$\hat$=$\frac{-11}{5}$=-2.2，
$\hat{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=7+2.2×6.5=21.3，
∴線性回歸方程為$\hat{y}$=21.3-2.2x．
（3）當銷售單價為x元時，利潤為W=（x-4）（-2.2x+21.3）=-2.2x2+30.1x-85.2，
當x=$\frac{30.1}{2×2.2}$≈7時，日利潤最大為：W=$\frac{4?-2.2?×?-85.2?-30.12}{4?-2.2?}$≈17.7．
即當銷售單價為7元時，日利潤最大為17.7元．

點評 本題考查的知識點是相關系數(shù)，回歸方程，熟練掌握最小二乘法的計算步驟，是解答的關鍵．