Question

己知f（x）=

a•2x+a-2

2x

是奇函數(shù)，
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，x∈R；
（3）若方程f（x）=m（m＞0）在（-∞，0）上有解，求證：-

1

3

＜f（m）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則f（0）=0，代入解析式可求出a的值；
（2）y=

1

2x

是R上的減函數(shù)，可得f（x）=1-

1

2x

是R上的增函數(shù)；
（3）先確定1＞m＞0，即可得出結(jié)論．

解答： （1）解：f（x）的定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，∴f（0）=0，
∴a=1；
（2）解：f（x）=1-

1

2x

，∵y=

1

2x

是R上的減函數(shù)，∴f（x）=1-

1

2x

是R上的增函數(shù)；
（3）證明：∵方程f（x）=m在（-∞，0）上有解，
∴1＞m＞0，∴-

1

2

＜f（m）＜0，
∴-

1

3

＜f（m）＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的值域，屬于中檔題．