Question

設(shè)f（x）=e^x（ax²+x+1），且曲線y=f（x）在x=1處的切線與x軸平行．
（Ⅰ）求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：對任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）切線和x軸平行，所以切線的斜率為0，再根據(jù)函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系便能求出a．從而求出函數(shù)f（x），求f′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系便能判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)f（x）在[0，1]上的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的值域[1，e]，所以對于任意的x₁，x₂∈[0，1]有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1＜2，即|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x[ax²+（2a+1）x+2]；
由已知條件知：f′（1）=3e（a+1）=0，∴a=-1；
∴f（x）=e^x（-x²+x+1），f′（x）=e^x（-x²-x+2）；
∴解-x²-x+2＞0得：-2＜x＜1；解-x²-x+2＜0得：＜-2，或x＞1；
∴函數(shù)f（x）在[-2，1]上單調(diào)遞增，在（-∞，-2）和（1，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增；
∴函數(shù)f（x）在[0，1]上的值域?yàn)椋篬f（0），f（1）]=[1，e]；
∴對任意x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1＜2；
∴對任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

點(diǎn)評：考查函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系．