Question

第30屆奧運(yùn)會(huì)將于2012年7月27日在倫敦舉行，射擊運(yùn)動(dòng)員正在積極備戰(zhàn)，若某運(yùn)動(dòng)員在1次射擊中成績(jī)?yōu)?0環(huán)的概率為

1

3

，該運(yùn)動(dòng)員在4次射擊中成績(jī)?yōu)?0環(huán)的次數(shù)為ξ．
（Ⅰ）求在4次射擊中恰有2次射擊成績(jī)?yōu)?0環(huán)的概率；
（Ⅱ）求在4次射擊中至少有3次射擊成績(jī)?yōu)?0環(huán)的概率；
（Ⅲ）求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由題意知，ξ～B(4，

1

3

)，由此能求出在4次射擊中恰有2次射擊成績(jī)?yōu)?0環(huán)的概率．
（Ⅱ）在4次射擊中至少有3次射擊成績(jī)?yōu)?0環(huán)包括恰有3次擊中10環(huán)和4次擊中10環(huán)，由此能求出結(jié)果．
（Ⅲ）由ξ～B(4，

1

3

)，能求出隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，
即ξ～B(4，

1

3

)．…（2分）
在4次射擊中恰有2次射擊成績(jī)?yōu)?0環(huán)的概率為：
P(ξ=2)=

C

2 4

×(

1

3

)2×(1-

1

3

)2=6×

1

9

×

4

9

=

8

27

．
∴在4次射擊中恰有2次射擊成績(jī)?yōu)?0環(huán)的概率是

8

27

．…（4分）
（Ⅱ）記“在4次射擊中至少有3次射擊成績(jī)?yōu)?0環(huán)”為事件 A，
則P(A)=P(ξ≥3)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=

C

3 4

×(

1

3

)3×(1-

1

3

)+

C

4 4

×(

1

3

)4=

1

9

．
∴在4次射擊中至少有3次射擊成績(jī)?yōu)?0環(huán)的概率為

1

9

．…（8分）
（Ⅲ）∵ξ～B(4，

1

3

)，
∴Eξ=4×

1

3

=

4

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．